ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

Согласно определению кольца, линейный непрерывный оператор называется левым обратным оператором для оператора , если .

Если оператор имеет левый и правый обратные операторы, то они равны:

.

Общее обозначение обратного оператора : :

Пример: ,

. .

;

- 55 -

, то есть и значит .

С понятием обратного оператора связаны вопросы существования и единственности решения операторных уравнений вида: .

Действительно, пусть , т.е. - решение уравнения .

24.1. Рассмотрим некоторые свойства обратных операторов:

Оператор, обратный к линейному, тоже линеен.

Пусть .

Подействуем на обе части уравнения оператором . . Отсюда .

Снова подействуем оператором : .

23.2. Если линейный ограниченный оператор А отображает на взаимно однозначно, то существует обратный линейный оператор .

Действительно, для существует .

Значит, имеется оператор , который по смыслу определения удовлетворяет требованиям линейности.