1.1.2 Определение взаимосвязей между входным и выходным сигналами системы через ИПХ (нахождение оператора системы)

Y(t) = L{X(t)}.

Представим сигнал X(t) в виде

ад ад ад

х(t) — J X(T)5(t - T)dT — J X(t)5(t - T)dT — X(t) Js(t - T)WT —

u%0 — -ад

du — -dT

u, — ад

(1.7)

X (t) J 5 (u)du — X (t)

Соотношение (1.7) определяет фильтрующее свойство 5 - функции.

(ад ад

JX(t)8(t — r)dr I = JL{X(r)S(t — T)dz}=

—ад J —ад

ад

= J X (T)L{(t — т)}т

—ад

Но L{ 8 (t)} — не что иное, как импульсная переходная характеристика системы, следовательно,

ад

Y(t) = J X( T)h(t — T)dT

— ад

Независимая переменная всегда неотрицательна, и в качестве нижнего предела используем нуль, кроме того, t — т > 0, так как реакция не может появиться раньше воздействия, то есть т < t — верхний предел (0 < т < t).

t t t Y(t) = J X( T)h(t — T)dT = J h(u)X(t — u)du = J h( T)X(t — T)dT. 0 0 0 t — т = u; т = t — u; dT = — du

u в = 0; u н = t

Выходной сигнал связан со входным и ИПХ интегралом Дюамеля

t t Y(t) = J h(t — т)X( т )dт = J h( т )X(t — т )dт. (1.8)

0 0

t — текущее время, прошедшее со времени подачи на вход сигнала.

В зависимости от того, на каком интервале времени необходимо рассматривать работу ЛДС, различают два режима работы:

переходный (динамический) режим;

установившийся (статический).

Переходный режим соответствует работе системы на участке,

11

где ИПХ практически отлична от нуля.

Установившийся режим — это работа на участке, где ИПХ можно считать равной нулю:

0 < t < т u — переходный режим;

t > т u — установившийся режим.

В установившемся режиме выражение (1.8) принимает вид

ад

Y(t) - J h(T)X(t — T)dT . (1.9)