Самосопряженные операторы

28.1 Рассмотрим линейный непрерывный оператор, определенный в гильбертовом пространстве. Благодаря свойствам скалярного произведения в гильбертовом пространстве выделяется класс операторов, обладающих особым свойством симметрии и играющих важную роль в анализе и физике.

Оператор А называется симметрическим, если для любых х, у (1).

28.2 Понятие симметрического оператора связано с понятием

сопряженного оператора.

Рассмотрим скалярное произведение , где у - фиксированный элемент, а х - переменный. Тогда при фиксированном у. По теореме о функционалах существует единственный элемент такой, что (2),

- 63 -

при этом . Меняя у будем получать различные , то есть получим некоторый оператор . (3)

Очевидно, - линейный оператор. Ограниченность следует из теоремы о функционалах.

Оператор называют оператором, сопряженным с оператором А, связь между которыми определяется формулой (4).

29.3. Если А - симметрический оператор, то из формул (1) и (4) следует: . Поэтому симметрический оператор совпадает со своим сопряженным оператором и его называют самосопряженным или эрмитовым.

Пример: В -мерном евклидовом пространстве для оператора , где - комплексные числа, оператором сопряженным к А является оператор , а самосопряженным оператором является эрмитова матрица, для которой .

Если - вещественная матрица, то будет транспонированной матрицей, а самосопряженным оператором - симметричнчная матрица, для которой .