§ 5. Спектральные свойства оператора Лесли

Как уже отмечалось, поведение решений уравнений мо­дели Лесли (4.5) во многом определяется спектральными свойствами матрицы L или же соответствующего опера­тора L.

Рассмотрим случай, когда оператор L является операто­ром простой структуры, т.

Действительно, общим критерием простоты структуры линейного оператора А является условие, что все элемен­тарные делители минимального многочлена матрицы А линейны. Минимальным многочленом матрицы А назы­вается аннулирующий многочлен данной матрицы мини­мальной степени

(с коэффициентом единица при старшей степени). Извест­но[5]), что

где— наибольший делитель миноров k-ro порядка

характеристической матрицы (коэффициент при

старшей степени X берется равным единице). Минор данной матрицы, построенный на последних п — 1 строках и пер­вых п — 1 столбцах, имеет вид

и не содержит X; следовательно, D_n^ (X) = 1 и тогда

т.

Итак, оператор Лесли имеет простую структуру в том и только в том случае, когда все его собственные значения различны.

Из условия (5.3) можно вывести еще несколько утверж­дений относительно оператора L. Тот факт, что размерность минимального многочлена L совпадает с размерностью всего пространства, означает, что пространство является цикли­ческим относительно данного оператора, т. е. существует такой вектор е, что векторы е,е линейно

независимы, а вектор Lⁿe линейно через них выражается. Таким вектором служит, например, вектор е = (1,0, .... 0).

Инвариантные многочлены, т. е. многочлены

по определению), для матрицы Лесли имеют вид

Поскольку нормальная жорданова форма всякой матрицы показывает расщепление пространства на циклические под­пространства, соответствующие элементарным делителям всех инвариантных многочленов, равенства (5.5) позволяют утверждать, что если спектр матрицы Лесли состоит из т различных значенийс кратностями

то нормальная жорданова форма данной матрицы имеет ровно т клеток, с размерами и числами Х_; на главной диагонали.

§ 5. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ЛЕСЛИ

61

Итак, матрица Лесли может быть представлена в виде

В случае, когда все собственные числа Ху различны, столбцы преобразующей матрицы Р представляют собой собствен­ные векторы, соответствующие различным собственным значениям. В общем случае — это векторы, образующие так называемый жорданов базис. Поскольку одинаковые собственные значения сосредоточены в одной и той же жордановой клетке, векторы е_ъ е₂, ..., e_k этого базиса, соответствующие собственному значению X кратности k, могут быть последовательно определены из соотношений

Произвольная функция от матрицы и, в частности, любая натуральная степень матрицы t определяются по ее значе­ниям на спектре матрицы. Ясно, что

)

где степень жордановой клетки размера k X k, соответст­вующей собственному значению X кратности k, при достаточ­но больших t имеет вид

62

ГЛ. И. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ПОПУЛЯЦИЙ

Когда все собственные числа X/ различны, формулы (5.9) и (5.10) упрощаются до

Формулы (5.9) — (5.10) позволяют вычислить возрастное распределение х (/) на любом шаге t и при любом началь­ном распределении х (0), а также исследовать асимптотиче­ское поведение траекторий системы при /-> со, т. е.

Из (5.10) ясно, что еслидля всехто

Если же существует_j такое, чтото

Таким образом, нетривиальный предел (5.12) может суще- ствовать лишь в случае, когда максимальное значение мо­дуля всех собственных чисел равно 1. В двух же предыдущих случаях представляет интерес исследование предела

где— максимальное по абсолютной величине собствен­ное значение.

Теорема Перрона — Фробениуса для неотрицательных неразложимых матриц А утверждает [6]):

1) А имеет действительное положительное характери­стическое число г (максимальное характеристическое число), которое является простым корнем характеристического

§ 5. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ЛЕСЛИ

63

65

§ 5. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ЛЕСЛИ

Когда t + k — і кратно индексу импримитивности h, последняя сумма в предыдущем выражении равна /г; в про­тивном случае элементарные тригонометрические тождества показывают, что эта сумма обращается в нуль.

где суммирование производится по всем тем значениям k, которые отличаются от і — t на любое число, кратное h. В векторной форме

Формулы (5.21) — (5.22) позволяют установить ряд утверждений относительно асимптотического поведения траекторий модели Лесли.

§ 5. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ЛЕСЛИ

67

Если матрица L примитивна, т. е. h. = 1, суммирова­ние происходит по всем индексам k от 1 до п и предельная функция не зависит, таким образом, от /:

Соотношение (5.23) представляет собой известный резуль­тат Лесли: для примитивной матрицы L предельное рас­пределение пропорционально собственному вектору, соот­ветствующему максимальному собственному значению *), причем коэффициент пропорциональности — обозначим его через ф (г, х) — линейно зависит от координат началь­ного распределения х.

Теорема (о среднем циклическом). Пусть h — ин­декс импримитивности матрицы L. Тогда

Доказательство. Согласно (5.20) t-я коорди­ната предельной функции для вектора, стоящего в левой части (5.24), имеет вид

[1] Этот результат был установлен Лесли для случая, когда все собственные числа L различны; заметим, что вывод (5.23) не требовал такого ограничения.

§ 5. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ЛЕСЛИ

69

можно, например, укрупнив временные интервалы так, чтобы возрастные группы с ненулевой рождаемостью ока­зались соседними.

Как уже отмечалось, нетривиальное предельное рас­пределение возможно лишь в случае, когда максимальное собственное число г = 1, т. е. (поскольку г является един­ственным положительным корнем характеристического мно­гочлена) когда

I — і

Когда же это условие нарушено, простейший гипотети­ческий способ добиться его выполнения состоит в пропор­циональном изменении всех рождаемостей, т. е. в такой замене

что

і

I = 1

С увеличением чисел b_t значение г возрастает и, наоборот, убывает при уменьшении b_t.

Из (5.28) коэффициент пропорциональности

Величина R служит обобщенным параметром скорости воспроизводства всей популяции, некоей мерой стабиль­ности. Если R = 1, то г. = 1 и популяция не вымирает и не растет экспоненциально, а стремится к предельному распределению. Случаи R 1 означают соот­ветственно, что г < 1 и г > 1, т. е. согласно (5.18) и (5.21) Популяция, вымирает либо безгранично растет.-