22. НОРМА ОПЕРАТОРА.
22.1.Пусть 
- линейный ограниченный оператор. Наименьшая из констант 
, удовлетворяющих неравенству: 
называется нормой оператора и обозначается 
.
Таким образом, норма оператора обладает следующими свойствами:
1) 
, (1)
2) для любого 
существует элемент 
такой, что 
.
22.2.В общем случае норма оператора вычисляется по формуле:
или 
. (2)Действительно, если 
, то 
.
Тогда 
. (3).
С другой стороны, для 
такой, что .
Пусть 
=
- 51-
.
, то 
. Следовательно, 
(4). Из формул (3) и (4) следует требуемое равенство (2).
22.3. Пусть 
- линейные нормированные пространства. Очевидно, в пространстве операторов 
можно ввести норму и сделать его линейным нормированным пространством операторов.
Введем норму по формуле (2). Проверим выполнение аксиом нормы:
1) 
, причем 
.
Действительно, 
. Отсюда 
. И 
. В силу однородности оператора 
.
. Тогда 
. И значит 
2) 
= 
.
3) 
.
Таким образом, пространство с нормой (2) - линейное нормированное пространство операторов.
ЗАМЕЧАНИЕ: Назовем сходимость последовательности линейных непрерывных операторов 
к оператору в смысле сходимости по норме в пространстве равномерной сходимостью.
- 52 -