29. Спектр самосопряженного оператора

Самосопряженный оператор называется положительным , если и его нижняя граница не отрицательна, т.е.

и хотя бы для одного .

Для самосопряженного оператора можно точно указать область, в которой расположен спектр оператора. Сделать это можно с помощью следующих теорем.

ТЕОРЕМА 1. Для того, чтобы точка была регулярным значением самосопряженного оператора , необходимо и достаточно существование положительной константы С такой, что для любого

- 64 -

. (1)

Доказательство:

Необходимость:

Пусть - регулярное значение самосопряженного оператора А. Тогда существует ограниченный оператор и . Для любого имеем

, т.е. ,

и необходимость доказана.

Ограничимся только доказательством необходимости.

Из этой теоремы вытекает следствие:

Точка принадлежит спектру самосопряженного оператора тогда и только тогда, когда существует последовательность такая, что

, где .

Если положить , то

при .

ТЕОРЕМА 2. Комплексные числа суть регулярные значения самосопряженного оператора .

Доказательство:

В самом деле, если , то

, а .

Отсюда .

Или

и значит .

Доказательство теоремы становится очевидным, если мы воспользуемся Теоремой 1.

- 65 -

ТЕОРЕМА 3. Спектр самосопряженного оператора лежит целиком на отрезке вещественной оси, где

, .

Доказательство:

Из Теоремы 2 следует, что спектр может лежать лишь на вещественной оси.

Убедимся, что вещественные , лежащие вне отрезка , являются регулярными значениями. Пусть, например, Тогда имеем:

Отсюда С другой стороны:

, следовательно:

Отсюда и следует регулярность выбранного значения . Аналогично рассматривается случай .

ТЕОРЕМА 4. Числа и суть точки спектра.

Доказательство:

Докажем это, например, для числа . Заметим, что если оператор заменить оператором , то спектр сдвинется влево на величину , а числа и заменяются соответственно на и . Мы можем поэтому, не нарушая общности рассуждений, считать, что

.

В этом случае . Докажем, что есть точка спектра.

В самом деле, в силу определения числа существует последовательность элементов , такая, что

.

Далее .

- 66 -

Поэтому.

Или . Следовательно:

для всех .

Остается воспользоваться следствием теоремы 1.

ВЫВОД: Каждый самосопряженный оператор имеет непустой спектр.

- 67 –

Лемма: Всякое число, отличное от нуля и входящее в спектр вполне непрерывного самосопряженного оператора , заданного в гильбертовом пространстве , является его собственным числом.

Доказательство:

Пусть и принадлежит спектру вполне непрерывного самосопряженного оператора . Тогда согласно следствия из теоремы 1 предыдущего параграфа, существуют элементы с нормой , дл которых , а отсюда и

. (*)

Пусть , причем . Отсюда имеем: . (**)

Так как множество компактно в силу полной непрерывности оператора , то существует частичная подпоследовательность , для которой сходится к некоторому пределу . Вместе с ней сходится и подпоследовательность к некоторому элементу . Далее, так как , то из (**) имеем:

или .

Кроме того, так как , то и .

Таким образом, - собственное число вполне непрерывного самосопряженного оператора , , а - соответствующий ему собственный элемент.

Теорема 1. Всякий вполне непрерывный самосопряженный оператор , заданный в гильбертовом пространстве , имеет, по крайней мере, одно собственное число. При этом, если оператор , то он имеет собственное число, отличное от нуля.

Доказательство:

- 68 -

Если , то для всех будет , то есть

0- собственное число оператора и при том единственное.

Если же , то, по крайней мере, одна из его границ или отлична от нуля. По теореме 4 о спектре самосопряженного оператора обе границы принадлежат спектру самосопряженного оператора, а тогда по лемме отличная от нуля граница - собственное число.

Теорема 2. Для собственных чисел вполне непрерывных самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах справедлива оценка:

,

Доказательство:

Будем доказывать от противного. Пусть существует собственное число оператора , для которого

Пусть - собственный элемент, соответствующий собственному числу ( по лемме).

Тогда . Умножим обе части уравнения на :

,

или , что противоречит условию .

Следовательно, и, очевидно, есть наибольшее по модулю собственное число оператора .

Пусть и - нормированные пространства, - аддитивный оператор, отображающий в .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Аддитивный оператор называется вполне непрерывным оператором, если образ любого ограниченного множества из

пространства - компактное множество в пространстве .

Рассмотрим вполне непрерывные самосопряженные операторы, заданные в гильбертовом пространстве. Фундаментальным результатом всей теории вполне непрерывных самосопряженных операторов является теорема о существовании у таких операторов собственных чисел. Рассмотрим лемму.