Задача 38. Исследовать систему уравнений и решить её, если она совместна:

Решение. Пусть А – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных. Она называется матрицей системы.

При исследовании систем линейных уравнений пользуются теоремой Кронекера-Капелли: для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы. При этом, если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если же ранг матрицы А равен рангу матрицы В, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений. Если ранг матрицы А меньше ранга матрицы В, то система несовместна и решения не существует.

Определим ранг матрицы системы:

Преобразуем матрицу А. Сумму элементов первых двух столбцов прибавим к соответствующим элементам третьего столбца:

Так как все элементы третьего столбца оказались равными нулю, то единственный минор третьего порядка, который имеет эта матрица, равен нулю. С другой стороны, минор второго порядка . Следовательно, ранг матрицы А равен 2, т.е. . Определим теперь ранг расширенной матрицы В:

.

Преобразуем матрицу В. Сумму элементов первых двух столбцов прибавим к соответствующим элементам третьего столбца. Тогда все элементы третьего столбца будут равны нулю. Затем элементы первого столбца умножим на 3, элементы второго столбца умножим на 2 и их сумму вычтем из соответствующих элементов четвертого столбца:

Так как в полученной матрице, которая эквивалентна расширенной матрице В, элементы двух последних столбцов равны нулю, то все миноры третьего порядка матрицы В равны нулю и, следовательно, ранг матрицы В не может быть равен трем.

Итак, , но заданная система содержит 3 неизвестных. Поэтому система имеет бесконечное число решений. Выбираем в качестве базисного минора , а в качестве базисных неизвестных х1 и х2 . Составляем подсистему, состоящую из первых двух уравнений заданной системы (третье уравнение отбрасываем). Свободное неизвестное х3 переносим в правую часть. Получаем

Решая последнюю систему относительно базисных неизвестных х1 и х2 , находим . Полученное решение называется общим. Если свободное неизвестное х3 примет определенное значение, то можно найти соответствующие значения базисных неизвестных х1 и х2 . Например, пусть , тогда . Легко проверить, что эти решения удовлетворяют всем трем уравнениям заданной системы уравнений.