Задача 14. Исследовать функцию
и построить её график.
Решение. 1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком логарифма, можно представить так 
.
2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.
3. Установим четность или нечетность функции. Так как 
и 
, то функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную:
Знаменатель 
для любого значения х. При 
первая производная отрицательна, а при 
положительна. При 
первая производная равна нулю. В этой точке функция имеет минимум:
Итак, А (3; 0) – точка минимума (рис. 8). Функция убывает на интервале 
и возрастает на интервале 
.
5. Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:
Разобьем всю числовую ось на три интервала: 
В первом и третьем интервалах вторая производная отрицательна, а во втором интервале положительна. При 
и 
вторая производная изменяет знак.
. Следовательно, 
и 
- точки перегиба графика функции. График является выпуклым в интервалах 
и 
и вогнутым в интервале 
. 6. Найдем асимптоты графика функции. Для определения наклонной асимптоты 
воспользуемся формулами:
.
Имеем
.
Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:
;
.
Итак, кривая не имеет наклонных асимптот. График исследуемой функции изображен на рис. 5.
 |
у
Р1 Р2
–1 0 1 2 А 4 5 6 х
Рис. 5