Задача 18. Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. Чтобы исследовать данную функцию 
на экстремум, необходимо:
1.
Найти частные производные первого порядка
и 
, приравнять их нулю и решить систему уравнений
.
Каждая пара действительных корней этой системы определяет одну стационарную точку исследуемой функции. Пусть 
— одна из этих точек.
2. Найти частные производные второго порядка 
, 
, 
и вычислить их значения в каждой стационарной точке.
Положим, что 
; 
; 
.
3. Составить и вычислить определитель второго порядка 
.
4. Если в исследуемой стационарной точке 
, то функция 
в этой точке имеет максимум при 
и минимум при 
; если 
, то в исследуемой точке нет экстремума.
Если 
, то вопрос об экстремуме требует дополнительного исследования.
Находим стационарные точки заданной функции:
Решая систему 
находим: 
.
Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку 
.
Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:
Частные производные второго порядка не содержат х, они постоянны в любой точке , в частности в точке . Имеем: 
Так как 
и , то в точке данная функция имеет максимум.
