Задача 39. Дан интервальный ряд распределения случайной величины Х с частотами ni

Требуется: 1) построить гистограмму плотности относительных частот по данному интервальному ряду распределения; 2) определить основные числовые характеристики распределения; среднюю, моду, медиану, исправленную дисперсию, исправленное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации; 3) с надежностью 0,9 указать доверительный интервал для генеральной средней.

Решение. Для данного интервального статистического ряда найдем относительные частоты Wi по формуле Wi = , где объем выборки и накопленные частоты.

Х	8–12	12–16	16–20	20–24	24–28
ni	6	16	32	24	4
Wi
Накопленные частоты	6	22	54	78	82

Заметим, что

1. Для графического изображения интервальных распределений применяется гистограмма. Построим гистограмму относительных частот, для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываем отрезки, изображающие интервалы значений признака.

Рис. 8

2. Вычислим основные числовые характеристики распределения. По данному интервальному статистическому распределению составим дискретное статистическое распределение для признака Х. В качестве значений признака Х выбираем значения, стоящие в середине каждого интервала, и получим следующее распределение:

Тогда средняя выборочная (среднее взвешенное значение признака в выборке) равна

Рекомендуем вести все вычисления с точностью до 0,001.

Выборочная дисперсия характеризует рассеяние значений вариант Хi от выборочного среднего значения и измеряется в квадратных единицах признака Х:

;

Результаты вычисления дисперсии по двум способам равны.

Среднее квадратическое отклонение характеризует рассеяния значений признака в выборке от среднего выборочного в единицах признака Х:

Исправленная дисперсия является оценкой генеральной дисперсии.

Вычислим исправленное среднее квадратическое отклонение.

Мода Mo варианта, которая имеет наибольшую частоту, по данным интервального ряда вычисляется по формуле

где

хо – нижняя грань модального интервала;

nMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

nMo – частота модального интервала;

nMo+1 – частота интервала, следующего за модальным;.

h – ширина модального интервала.

Модальным является интервал 16–20. Следовательно, хо=16, nMo=32, nMo-1 =16, nMo+1=24, h =4.

.

Медиана Ме (варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по объему) по данным интервального ряда определяется по формуле:

где

Хо – нижняя граница медианного интервала;

n – объем выборки;

SMe-1 – сумма частот до медианного интервала;

nMe – частота медианного интервала;

h – ширина медианного интервала.

Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину всего объема совокупности, т.е. медианным является интервал 16-20. Следовательно, Хо=16, n=82, SMe-1=22, nMe=54, h=4.

.

Коэффициент вариации является характеристикой рассеяния вариационного ряда

.

3. Доверительный интервал для оценки генеральной средней.

Для генеральных характеристик используются не только точечные оценки , но и интервальные оценки, неизвестная характеристика заключена в некотором интервале с заданной надежностью.

Пусть значения количественного признака Х в генеральной совокупности распределены по нормальному закону. Тогда с надежностью доверительный интервал для генеральной средней вычисляется по формуле

, где ,

где

– точность оценки;

– генеральное среднее квадратическое отклонение;

t – параметр, который находится из соотношения 2Ф(t)= с помощью таблицы для интегральной функции Лапласа.

В данной задачи = 0,9, поэтому 2Ф(t) = 0,9, Ф(t) = 0,45 и . Найдем точность оценки =, так как г=S.

Тогда доверительный интервал: 17,476lt;Xгlt;18,914.

Ответ: