Оценивание числовых характеристик

При практическом изучении генеральной совокупности или выборки из нее часто достаточным оказывается знание некоторых числовых характеристик распределения или их оценок.

Оценки начальных моментов порядка к, полученные по не- группированной выборке из генеральной совокупности, равны

П

/= I

(5)

где к - порядок момента, к= 1, 2, 3, ... . Для группированных данных

(6)

где L - количество интервалов группирования, п, - количество элементов выборки, попавших в j-й интервал, х, - значение случайной величины, равное середине интервала группирования.

Оценку, которая может быть представлена одним числом, называют точечной оценкой (в отличие от интервальной оценки). В данном разделе рассматриваются точечные оценки числовых характеристик.

Начальный момент первого порядка (к= 1) называется выборочным средним, выборочным математическим ожиданием, или средним арифметическим значением выборки. Математическое ожидание характеризует положение распределения случайной величины на оси л\ Следовательно, это характеристика положения распределения. Зависимость положения Щх) от тх проиллюстрирована на рис. 7.

К другим характеристикам положения распределения случайной величины относятся мода хтоа и медиана xmed.

Мода - это такое значение случайной величины, которому соответствует максимум плотности вероятности непрерывной случайной величины или наиболее вероятное значение дискретной случайной величины.

Рис. 7. Положение плотности распределения вероятностей с разными значениями т

Медиана определяется по вариационному ряду и равна его среднему элементу

*med — X(R) gt;              {7)

где R - ранг порядковой статистики и определяется в виде R - - 0,5\п + 1) при п нечетном. При п четном xmed лежит между х п

(2)

и х „ элементами вариационного ряда, т. е. х „ lt;              lt;              х              „              ,

(§+1) (~) (~+1)

/

*med

(8)

х п +х п

фп ф

V 2 .              2              J

Соотношение между xmod, xmed и пі\ для некоторой асимметричной плотности распределения вероятностей показано на рис. 8.

Рис. 8. Соотношение характеристик Хтол, *|иаЬ пи на графике плотности распределения вероятностей

Эмпирические центральные моменты порядка к, полученные по негруппированной выборке из генеральной совокупности, равны

h = -?(*,¦-«і )*,              (9)

пы

где к - порядок момента, к = 2,3, ... .

Для группированных данных

Дk=-'Y,nj/Xj-mx)k .              (10)

п%

Центральный момент второго порядка р2 называется дисперсией и обозначается D.

Величина а = \[Б называется среднеквадратическим отклонением.

Оценка дисперсии, полученная по выражениям:

Ь = р2=д2=-^-щ)2,              (11)

” м

Ь = р2=Ъ2=-•(*-т,)2              (12)

й3

соответственно для негруппированной и группированной выборок, является смещенной оценкой дисперсии (понятие смещения оценки вводится в п. 1.4.1).

Для того чтобы получить несмещенную оценку, необходимо воспользоваться выражениями [4]

s2i)2gt;              (13)

ы\

S2=-~-Yinj/kj-mx)2,              (14)

П 1 у=1

соответственно для негруппированной и группированной выборок.

Если в выражениях (11) и (12) вместо оценки щ используется истинное значение т\, то данные выражения дают несмещенную оценку а2.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение являются характеристиками рассеяния, или разброса, распределения случайной величины (рис. 9).

Рис. 9. Графики плотности распределения вероятностей с различными значениями дисперсии и одинаковыми математическими ожиданиями

Другой выборочной характеристикой рассеяния является размах

Е\,п~ х(”)~ х(\) •              (15)

Характеристики формы распределения. Коэффициент асимметрии. В качестве характеристики формы распределения, отражающей его асимметрию, служит коэффициент асимметрии

*4-              (i6)

1*2

Для симметричного распределения Р! (и Цз) равен 0. Например, для модели нормального распределения Р! = 0. При Pi lt; 0 (ц3 lt;0) распределение имеет левостороннюю асимметрию, при Pi gt; 0 (рз gt; 0) - правостороннюю (рис. 10).

Неприведенный коэффициент эксцесса р2 также является характеристикой формы распределения, а именно его островершинности, и определяется из выражения

02=-^.              (17)

1*2

Рис. 10. Зависимость формі,і плотности распределения вероят - мости от коэффициента асимметрии р|

Рис. //. Зависимость формы плотности распределения вероятности от приведенного коэффициента эксцесса у

Характеристики порядковых статистик.

xwlt;xa)lt; ... lt;*(,)lt; ... lt;*(„) .

в силу их свойств.

I

Распределение средних членов вариационного ряда при п —gt; оо стремится к нормальному. Распределение крайних членов вариационного ряда отлично от нормального.

К числовым характеристикам порядковых статистик относятся медиана xme(j, размах Е]п, квантиль порядка р, или /жвантнль хр. Физический смысл квантили состоит в следующем. хр - это такое значение случайной величины, ниже которой лежит р-я часть распределения (наблюдений). Эмпирическая (выборочная) квантиль равна порядковой статистике ранга R

хр = X(R) gt;

где R - ранг порядковой статистики, который определяется как целая часть числа

R = int(np+ 1),              (18)

стоящего в скобках.

Пример 8. Время обслуживания (в часах) каждого из пяти поставщиков в оптовой форме в течение рабочего дня представлено рядом

1,5 1,2 2,3 3,3 1,7.

Необходимо определить х0 35. Найдем ранг R порядковой статистики, соответствующей р = 0,35

R = int(5-0,35 + 1) = 2 .

Следовательно, х0 35 =x(I) = 1,5 (второй элемент вариационного ряда).

Квантиль уровня р = 0,5 х0 5 называется медианой.

"Ї1

1 Будьте внимательны! Функции порядковых статистик всегда определяются по вариационному ряду.

Иногда вместо квантили пользуются процентной точкой, или процентилью.

Процентиль хч ¦/, - это такое значение случайной величины, выше которого лежит q(%) распределения.

Иначе - процентной точкой уровня q(%) 0 lt; q lt; 100 называется такое хч, при котором выполняется условие

Теоретическая квантиль хр является функцией, инверсной функции распределения случайной величины, и определяется из выражения

F(xp)=p.              (19)

Например, функция экспоненциального распределения имеет

вид

F(x) = \-е х ,

где а и X - параметры модели.

Пользуясь выражением (19), получим:

F (х) -1 — е

е х = 1 - р ,

хп-а -1п(1 -р) = -?—,

хр= а-Х 1п(1 -р).

Если р = 0,25, 0,5, 0,75, тохр соответственно 1-я, 2-я и 3-я квартили.

Величина Бороді = *0,75 - ^о,25 называется интерквартильным размахом и является также характеристикой рассеяния.

Прир = 0,1, 0,2, ...,0,9 речь идет о децилях х0,ь ход, ¦¦¦, *о,9- Соответственно величина Еод-о,9 = *о,9 -*o,i называется интердециль- ным размахом.

Задания для самоконтроля

Вопрос 1. Среди перечисленных характеристик случайной величины «выпадающей» из общего ряда является характеристика               . Сделайте правильный выбор.

Характеристики

1. Коэффициент эксцесса

Б. Медиана

2. Математическое ожидание

Г. Функция распределения

Д. Интердецильный размах

Основание, по которому выделена характеристика .

1. Характеристика порядковых статистик
2. Функционная характеристика
3. Числовая характеристика

Вопрос 2. Сравните значения характеристик распределения случайных величин X и Y, представленных на графиках, с помощью соотношений gt;, =, lt;.

Мода Медиана ту) Математическое ожидание Коэффициент асимметрии

X Y

X Y

X Y

X Y

Вопрос 3. Выборка из генеральной совокупности задана в виде распределения частот. Заполните в таблице недостающие характеристики случайной величины.

Вопрос 4.

X: 13, 7, 24, 18, 7, 15

Y: 15,6, 27, 19, 8, 23,5, 13

Для них одинаковой числовой характеристикой из приведенного списка является . Сделайте правильный выбор.

1. Среднеквадратическое отклонение

Б. 1-я квартиль

2. Коэффициент асимметрии

Г. Медиана

Д. Начальный момент 1-го порядка

Вопрос 5. Графики 1-3 оценок плотности вероятностей являются однотипными в смысле характеристики               .              Сделайте              пра

вильный выбор.

1. Дисперсия

О              х

2. Размах
3. Мода
4. Центральный момент 3-го порядка

Вопрос 6. Группированная выборка распределения рейтинга успеваемости студентов (в баллах) представлена в таблице. Зачет получают студенты, набравшие более 300 баллов.

Вероятность того, что студенты не получат зачет, равна .

Вопрос 7. Из приведенного ниже списка к характеристикам

положения распределения относятся  . Сделайте правильный

выбор.

1. Центральный момент 4-го порядка

Б. Мода

2. Медиана

Г. Интердецильный размах

Д. Математическое ожидание

Вопрос 8. Задана группированная выборка распределения случайной величины Y:

Смещенная дисперсия равна .

Вопрос 9. Вторая квартиль, полученная по выборке из генеральной совокупности

8,5, 7,1, 8,7, 6,2, 2,9, 4,4, 6,0, 5,8, 5,4, 3,5,

равна .