Числовые ряды.

Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение.

Задачу нахождения аппраксимирующих функций решает теория рядов.

Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: un = f(n) , где n = 1, 2, 3, . . . или u1, u2, u3, . . . , un, . . .

Опр. Пределом числовой последовательности un наз. число А, такое, что разность между ним и un при n ® ¥ делается бесконечно малой величиной

lim (un – A) = 0 или lim un = A при n ® ¥

Опр. Числовая последовательность наз. сходящейся если имеет конечный предел и расходящейся , если предел бесконечен.

Опр. Числовым рядом наз.сумма членов бесконечной числовой последовательности

u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . = ( 1 )

Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т.к. число слагаемых бесконечно. Приходится вводить специальную процедуру.

Опр. Частичной суммой ряда Sn наз. сумма ее первых n членов. Sn =

Частичные суммы ряда ( 1 ) образуют вспомогательную числовую последовательность

S1, S2, S3, . . . , Sn, . . . , где Sn = Sn – 1 + un , которая может сходится или расходится.

Опр. Суммой числового ряда ( 1 ) наз. предел последовательности частичных сумм ряда S = lim Sn при n ® ¥ ( 2 )

Ряд наз. сходящимся, если предел ( 2 ) конечен и расходящимся, если бесконечен.

Пр.1 Геометрическая прогрессия: a + aq + aq2 + aq3 + . . . Её частичную сумму Sn умножим на (1 – q). Тогда (1 – q)а= a(1 – qn) или Sn = a(1 – qn)/(1 – q). При |q| < 1 Sn имеет конечный предел: S = aq/(1 – q), а при |q| > 1 бесконечный. Т.о. этот ряд при |q| < 1 сходится, а при |q| > 1 расходится.

Пр. 2. Гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + ¼ + . . . расходится (ниже докажем).