Постановка задачи интервального оценивания характеристик случайных величин. Основные понятия
Если на основании имеющихся у нас данных (выборки из генеральной совокупности) конструируется оценка 0(хь ...,хп) параметра 0 [1, 3, 4], то при этом понимается, что величина 0 является лишь приближенным значением неизвестного параметра 0 даже в том случае, когда эта оценка состоятельна, несмещена и эффективна.
При малых п конкретное значение оценки 0 может очень сильно отклоняться от истинного значения характеристики 0. Вопрос состоит в том, как велико может быть это отклонение.
Можно найти такое 8 и указать интервал вида (0-8; 0+8), получивший название доверительного интервала, который с заранее заданной вероятностью р (близкой к 1) покрывал бы неизвестное нам истинное значение характеристики 0.
Эта вероятность, называемая доверительной вероятностью, обычно задается из условия
/*{| 0 - 0 | lt; 5} =р при малом 5 (20)
или
Р{0-дlt;Эlt; 0 + 5} =р. (21)
Чем меньше 5, тем точнее оценка 0. Поэтому 5 иногда используют в качестве характеристики точности оценки, ар - ее надежности.
Величину а = 1 -р называют уровнем значимости или вероятностью ошибки.
Для построения интервальной оценки 0 параметра 0 необходимо знать закон распределения оценки 0 как случайной
величины.
Плотность вероятности Щ 0) симметричного распределения 0 представлена на рис. 13.
Рис. 13. Плотность распределения вероятностей оценки 0
Границы доверительного интервала для неизвестной характеристики 0 будут определяться из условия (20).
Ширина интервала (0-8; 0+5) определяется величиной доверительной вероятности р или уровнем значимости а. Для симметричных распределений статистики 0 вводятся в рассмотрение вероятности ot| = а2 = а/2.
'її.
1 Обычно к интервальному оцениванию характеристик прибегают при малом объеме выборки, когда точечные оценки не являются устойчивыми.
Доверительные интервалы бывают односторонними и двухсторонними.
Остановимся на построении двухсторонних доверительных интервалов для математического ожидания т\ и дисперсии D выборки.