Числовые ряды.

Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм или .

Теорема. Для того чтобы ряд , где , сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды из действительных и мнимых частей , .

Доказательство следует из теоремы лекции 2 относительно эквивалентности сходимости последовательности сходимости последовательностей действительных и мнимых частей .

Следствие. Если ряд или ряд расходятся, то ряд расходится.

Доказательство (от противного) – проведите сами.

Замечание. Эта теорема как раз и «перекидывает мостик» между изученными ранее рядами действительной переменной и рядами комплексной переменной.

Критерий Коши. Для того чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Необходимость. Если ряд сходится, то ряды , сходятся. Следовательно, для них выполняется критерий Коши. Тогда. .

Выбирая,получим.

Достаточность. Пусть. Тогда, так как , то для рядов , выполнен критерий Коши. Следовательно, они сходятся. Тогда, по доказанной теореме ряд сходится.

Теорема. Если ряд сходится, то ряд сходится (если ряд сходится абсолютно, то он сходится).

Доказательство. Ряд – знакоположительный числовой ряд, так как - неотрицательное действительное число. Так как сходится и , то по первому признаку сравнения знакоположительных числовых рядов ряд сходится. Аналогично, так как , то по первому признаку сравнения ряд сходится. Поскольку ряды , сходятся абсолютно, то они сходятся. Тогда и ряд сходится.

Пример. Ряд сходится, так как по признаку Лейбница сходятся ряды из действительных и мнимых частей.