Числовые ряды.

Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ P_n(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в P_n(x) , тем точнее приближение.

Задачу нахождения аппраксимирующих функций решает теория рядов.

Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: u_n = f(n) , где n = 1, 2, 3, . . . или u_1, u_2, u_3, . . . , u_n, . . .

Пр. Если f(x) = 2^x, то имеем 2,4,8, . . . , если f(x) = 1/2^x, то имеем ½ ,1/4, 1/8, 1/16, . . .

Опр. Пределом числовой последовательности u_n наз. число А, такое, что разность между ним и u_n при n ® ¥ делается бесконечно малой величиной

lim (u_n – A) = 0 или lim u_n = A при n ® ¥

Опр. Числовая последовательность наз. сходящейся если имеет конечный предел и расходящейся , если предел бесконечен.

Опр. Числовым рядом наз.сумма членов бесконечной числовой последовательности

u₁ + u₂ + u₃ + . . . + u_n + . . . = ( 1 )

Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т.к. число слагаемых бесконечно. Приходится вводить специальную процедуру.

Опр. Частичной суммой ряда S_n наз. сумма ее первых n членов. S_n =

Частичные суммы ряда ( 1 ) образуют вспомогательную числовую последовательность

S₁, S₂, S₃, . . . , S_n, . . . , где S_n = S_{n – 1} + u_n , которая может сходится или расходится.

Опр. Суммой числового ряда ( 1 ) наз. предел последовательности частичных сумм ряда S = lim S_n при n ® ¥ ( 2 )

Ряд наз. сходящимся, если предел ( 2 ) конечен и расходящимся, если бесконечен.

Пр. Геометрическая прогрессия: a + aq + aq² + aq³ + . . . Её частичную сумму S_n = аумножим на (1 –q). Тогда (1–q)а= a(1 –qⁿ) или S_n = a(1 –qⁿ)/(1– q). При |q| < 1 S_n имеет конечный предел: S = aq/(1 – q), а при |q| > 1 бесконечный.

Т.о., этот ряд при |q| < 1 сходится, а при |q| > 1 расходится.

Пр. Гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + ¼ + . . . расходится (ниже докажем).