Знакопеременные числовые ряды.

Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Признак абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из модулей элементов знакопеременного ряда, сходится, то и сам знакопеременный ряд является сходящимся ,

т.е.

Док-во. В частичной сумме ряда (b) S_n выделим все положительные слагаемые S_n’ и отрицательные слагаемые S_n’’. Тогда имеем для (b) : S_n = S_n’ - S_n’’ и для (а) :

s_n = S_n’ + S_n’’ ,следовательно, S_n < s_n . Из условия сходимости ряда (а) следует s_n < s или S_n < s_n < s , т.е. частичные суммы S_n ограничены и, следовательно, знакопеременный ряд (b) сходится.

Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым.

Пр. Ряд сходится по признаку Лейбница ( u_n = 1/n > u_n+1 = 1/(n+1) - да,

lim u_n = lim 1/n = 0 - да ), а гармонический ряд является расходящимся.

Опр. Сходящийся знакопеременный ряд наз. абсолютно сходящимся, если также сходится ряд составленный из модулей его членов, и условно сходящимся, если ряд из модулей не сходится.

На абсолютно сходящиеся ряды переносятся все основные свойства конечных сумм.