ОЦЕНИВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Оценкой 0 характеристики 0 называется функция выборочных значений X/, і = 1, п вида

0 = ©(Х|,Х2,Х3, ..., X/, ...,х„).

Знак «п» называется «крышечкой» и обозначает оценку.

Оценки характеристик обладают рядом свойств: несмещенностью (величиной смещения), эффективностью, состоятельностью и др. Некоторые из названных свойств будут рассмотрены в п. 1.4.1.

Оценка 0 - функция статистическая и, следовательно, тоже случайна. Все оценки случайных величин можно разделить на оценки функционных и числовых характеристик.

~!1,

Запомните! Все характеристики, полученные по выборке из генеральной совокупности, называются эмпирическими, выборочными характеристиками, или их оценками.

1. Оценивание функционных характеристик. Оценивание функции распределения и плотности вероятностей

Пусть дана выборка из генеральной совокупности xt, i = \,n. Необходимо получить оценку функции распределения F(x).

Положим, что х, независимы. Для получения функции F(x) выполним следующую последовательность действий:

• сформируем вариационный ряд

Х(!)lt;Х(2)lt; ...lt;Х(,)lt; ... lt;х(и);

• выделим минимальный xm;n = X(i) и максимальный хтах = х(Л) элементы вариационного ряда;
• для каждого значения случайной величины найдем такое пх, равное числу элементов выборки, значения которых меньше или равны заданному х. Тогда отношение

F(x) = — п

называется эмпирической функцией распределения (оценкой функции распределения).

Функция распределения, полученная по генеральной совокупности, называется истинной, или теоретической, функцией распределения и обозначается F(x).

Свойства эмпирической функции распределения:

• 0 lt; F(x)lt; 1, (F(x) лежит в интервале от 0 до 1);
• F(x) - неубывающая функция;
• F(x) - непрерывна справа;
• F(x) - кусочно-постоянна и изменяется только в точках вариационного ряда. В общем случае F(x) можно представить в виде

О, при хlt;х(|),

F(x) = -lt;

YI

при х0)lt; *lt;*(„),              (3)

п

J, при X gt;х(п),

где пх - количество элементов выборки, значения которых меньше или равны заданному х. В асимптотическом пределе при

п —gt; оо lim F(x) = F(x).

Пример 4. Распределение предприятий по издержкам обращения (млн. руб.), полученным в отчетном периоде, представлено в группированном виде количеством я,- предприятий, попавших в j интервал, и интервалами объема издержек обращения X/.

L

Общее количество предприятий Я =              ¦ = 20.

j=l

Построим график функции F(x), который называется графиком накопленных частот. Вид функции F(x) представлен на рис. 3.

Ломаная, соединяющая точки (х„ я,), j = 1,L и представленная на рис. 4, называется полигоном частот. Ломаная, соединяющая

Рис. 3. График накопленных частот случайной величины X

Л/='

называется относительной частотой попадания в интервал.

Пример 5. Для данных примера 4 построить полигон частот (рис. 4).

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиной Л, а высотами lt;Ву = njh (плотность частоты).

Пример 6. Для данных примера 4 построить гистограмму частот (рис. 5).

Площадь у-го прямоугольника гистограммы равна

п,

Sj=-ffh = nj’

1.7

5

10

14

Рис. 5. Гистограмма частот случайной величины X

а площадь всей гистограммы -

S= =п.

Функцией относительных частот (плотностью относительной частоты), или гистограммой оценки плотности вероятностей, называют фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями h и высотами

(4)

Wj (х) = соj/n =

h-n

№ Пример 7. Для данных примера 4 построить оценку плотности вероятностей (рис. 6).

W(-r)

0,125

0,0875

0,0375

26              10              14              х

Рис. 6. Оценка плотности распределения вероятностей Wj (х)

nj h Hj hn              n

Площадьj-го прямоугольника равна Sj= (o)j/n)'h

а площадь гистограммы •

1.

j _

В асимптотическом пределе

lim W(x)=W(x),

Л-»со

т. е. оценка плотности вероятности равна истинному значению плотности вероятностей.

Плотность вероятностей и функция распределения являются функционными характеристиками и дают исчерпывающие сведения об интересующем нас законе распределения непрерывной случайной величины.