Знакочередующиеся числовые ряды.
Опр. Знакочередующимся наз. числовой ряд вида , un > 0 ( 3 )
Признак Лейбница. Если члены ряда ( 3 ) последовательно убывают ( un > un+1 ) и стремятся к 0 ( lim un = 0 при n ® ¥ ), то ряд сходится, причем, его сумма S > 0 и S < u1.
Док-во. Члены частичной суммы S2m сгруппируем двумя способами :
S2m = (u1 – u2) + (u3 – u4) + . . . +(u2m-1 – u2m) ( a )
S2m = u1 – (u2 – u3) – (u4 – u5) - . . . – (u2m-2 – u2m-1) – u2m ( b )
При способе ( а ) имеем сумму положительных членов S2m > 0. При способе (b) имеем разность между u1 и суммой (m – 1) положительного слагаемого. Из этого следует, что S2m всегда ограничена S2m < u1 , а последовательность ограниченных S2m имеет предел, т.е. ряд сходится. От S2m+1 легко перейти к S2m , выделив лишний член.