4.6. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

В суждениях либо утверждается, либо отрицается существование объектов, наличие у них свойств и отношений между ними. Как правило, относительно любого суждения можно сказать, что оно истинно (соответствует действительности), либо ложно (противоречит реальному положению вещей).

"Если я рассуждаю логично, то это значит только то, что я не сумасшедший, но вовсе не доказывает, что я прав".

И. П. Павлов

Для получения нового суждения из одной или нескольких посылок используется правило логического вывода. Этот процесс называется умозаключением. Различают следующие виды умозаключений: дедуктивные, индуктивные и по аналогии. Процесс получения заключений из посылок называется выведением следствий; он осуществляется в соответствии с правилами дедуктивных умозаключений. Условиями истинности заключения является истинность посылок и логическая правильность вывода. Непосредственное умозаключение делается из одной посылки, являющейся категорическим суждением. Различают превращения, обращения, противопоставление предикату и умозаключения по "логическому квадрату". Существует два способа превращения: 1) S есть Р S не есть не-Р: (Любая корова есть млекопитающее) —>> (Ни одна корова не является немлекопитающим).

Рис. 4.2. Фигуры категорического силлогизма М-Р 2) Р—М

S—M З)м—Р M—S 4)р- ¦м

г S—M ¦м S—P \ S—P S—P S— ¦р

У

В обращении происходит перемена мест субъекта и предиката: S есть Р Р есть S: (Все прямоугольники есть многоугольники) (Некоторые многоугольники являются прямоугольниками). Противопоставление предикату происходит по схеме: S есть Р не-Р не есть S: (Все муравьи есть насекомые) —>> (Ни одно ненасекомое не является муравьем). Можно провести умозаключение по "логическому квадрату11: Допустим, имеются два общих утверждения (1: Все утки белые) и (2: Ни одна утка не белая), которым подчинены частные суждения (3: Некоторые утки белые) и (4: Некоторые утки не белые). Суждения 1 и 4, 2 и 3 противоречат друг другу, то есть если одно истинно, то другое ложно. Категорическим силлогизмом называется дедуктивное умозаключение, построенное на двух истинных категорических суждениях, в которых субъект S и предикат Р связаны средним термином М. Различают четыре фигуры категорического силлогизма (рис. 4.2). Рассмотрим примеры:

Все металлы (М) проводят ток (Р) Алюминий (S) есть металл (М)

Алюминий (S) проводит ток (Р)

Все ящерицы (Р) — земноводные (М) Это животное (S) не земноводное (М)

Это животное (S) не является ящерицей (Р)

3) Все муравьи (М) строят жилище (Р) Все муравьи (М) - насекомые (S)

Некоторые насекомые (S) строят жилище (Р)

4] Все собаки (Р) - млекопитающие (М)

Ни одно млекопитающее (М) не есть птица (S)

Ни одна птица (S) ни есть собака (Р)

Чисто условное умозаключение — это опосредованное умозаключение, в котором обе посылки есть условные суждения. Оно имеет структуру: 1. (Если А, то В), (Если В, то С) —>> (Если А, то С); 2. (Если А, то В), (Если не-А, то В) —» В. Например:

Если у многоугольника три угла, то это - треугольник Если это - треугольник, то сумма углов равна 180°

Если у многоугольника три угла, то их сумма равна 180°

Если тело - жидкость, то состоит из молекул Если тело - не жидкость, то состоит из молекул

Тело - состоит из молекул

Условно-категорическое умозаключение содержит две посылки: одна — условное суждение, а другая — простое категорическое суждение.

Если кубик железный, то он тонет в воде Кубик железный

Кубик тонет в воде

Если происходит эта реакция, то изменяется цвет раствора Цвет раствора не изменяется

Эта реакция не происходит

При обучении математике и естественным наукам используются и другие виды дедуктивных умозаключений: разделительные, условно- разделительные, сведение к абсурду, рассуждение "от противного". на уроке физики

Так, при изучении электромагнитной индукции учитель физики рассказывает о правиле Ленца: индукционный ток направлен так, что создаваемое им магнит-ное поле препятствует изменению внешнего магнитного поля, породившего этот ток. Предположим обратное: допустим, что внешнее магнитное поле растет и индукционный ток, текущий по замкнутому витку, создает магнитное поле, со- направленное с внешним магнитным полем. Это приведет к росту энергии магнитного поля и нагреванию витка, что противоречит закону сохранения энергии. Следовательно наше предположение не верно.

Рассмотрим другой пример: Аристотель утверждал, что тяжелые тела падают быстрее легких. Галилей рассуждал так: допустим тяжелое падает быстрее легкого, тогда как они будут падать, если их связать вместе? Тяжелое тело будет замедляться, а легкое — ускоряться, значит скорость падения будет средней. Но по теории Аристотеля их общая скорость падения должна возрасти, так как масса увеличилась. Отсюда следует, что Аристотель не прав: все тела независимо от массы должны падать с одним и тем же ускорением. Позже это было доказано экспериментально.

Не всегда рассуждения "от противного" приводят к опровержению исходного положения. Известна история, как математики пытались доказать, что пятый постулат Евклида (через любую точку можно провести только одну прямую, параллельную данной) является следствием первых четырех постулатов. Используя метод "от противного" Лобачевский сформулировал обратное утверждение: через точку можно провести как минимум две прямые, параллельные данной. Проводя дальнейшие рассуждения, ученый не пришел к противоречию, и создал логически стройную теорию, названную геометрией Лобачевского.