19. Реш-е ИУ Ф с сим.ядром д/случая, когда l явл. собственным зн-ем.

Предположим, что l явл. собств.зн-ем ранга q, т.е. что l=l₁=…=l_q.

Предположим, что сущ непрерывное на [a;b] реш-е ур-я (1) u(x).

Ф-ция V(x) удовлетворяет усл-ям т-мы Г-Ш:

Если ф-цию f(x) м.представить в виде:

где g(x) непрерывна на пр-ке [a,b], то ф-цию f(x) м. представить в виде ряда

по собственным ф-циям ядра, абсолютно и равномерно сходящегося в пр-ке [a;b].

т.к. она представима ч/з ядро ИУ ? эту ф-цию м. представить в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда по собств.ф-циям (if ядро вырождено – сумма конечна).

где y_k(x) – собств.ф-ции ядра ИУ K(x,t). Согласно 1му следствию т-мы (V,y_k)=(u,y_k)/l_k. Подставим в (*):

Коэф-ты ряда (3) легко нах.из самого ур-я. Д/этого домножим (1) на y_k(x) и проинтегрируем òdx

Д/первых q зн-й K=1..q левая часть =0 ?(f,y_k) дб =0. Обязательным усл-ем сущ-я реш-я в случае l=l_K явл. ортогональность ф-ции f(x) и собств.ф-ций, соотв-щих этому собств.зн-ю. Если оно не выполняется, реш-й нет. Реш-е ур-я мб получено на основании т-мы Г-Ш.

где С₁, С₂, …, С_q – произв.const, т.е.

Расписывая ф-цию f(x):

Покажем сходимость ряда в (5). Полагая кол-во собственных зн-й у ядра ИУ бесконечным, получим

l_k – собств.зн-я ядра И или полюса резольвенты. Тогда выр-е в ряде (5) преобразуем

? б.сходится и ряд в ф-ле (5). Покажем, что реш-е (5) удовлетворяет неодн.ур-ю (1). Подставим u₀(x) в (1):

Согласно т-ме Г-Ш (по сл-ю (2))

Объединяем 3 ряда

u₀ удовлетворяет неоднородному ИУ (1).

Линейная комбинация собств.ф-ций:

j(x)=C₁y₁(x)+…+ C_qy_q(x)

также явл.собственной ф-цией. Поэтому ф-ция j(x) удовл. однородному ИУ, а реш-е (5) в целом удовлетовряет неоднородному ИУ.