Смешанная задача для уравнения теплопроводности.

Пусть u(x,t) – функция распределения температуры вдоль стержня длины l в момент времени t . Процесс передачи тепла вдоль стержня описывает уравнение

= a2 ( 33 )

где а - const , 0 , t > 0 .

u(0,t) = 0 , u(l,t) = 0 ( 34 )

и в начальный момент имеем распределение температуры

u(x,0) = f(x), f(0) = f(l) = 0 ( 35 )

Пусть u(x,t) = X(x)T(t) , тогда из ( 36 ) имеем

X(x)T``(t) = a2X``(x)T(t) или T`(t) / a2T(t) = X``(x) / X(x) = - h

и получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения

X``(x) + hX(x) = 0 , h > 0 ( 36 )

T`(t) + ha2T(t) = 0 ( 37 )

Частные решения уравнения ( 36 ) при граничных условиях ( 19 ) получены в предыдущей задаче

Xn(x) = Bn sin(p n / l) x , где = p n / l , n = 0, 1, 2, 3, . . . ( 38 )

Общее решение уравнения ( 37 ) имеет вид

dT / T = - a2h dt ? ln T = - a2h t + ln C ? T(t) = C

Заменим h на разрешенные значения и просуммируем все un(x,t) = Xn(x)Tn(t)

u(x,t) = Bn sin (p n / l) x ( 39 )

Для определения Bn используем начальные условия ( 35 )

u(x,0) = Bn sin (p n / l) x = f(x)

Если выполняются условия разложения f(x) в ряд Фурье, то

Bn = ( 40 )

Таким образом, решение задачи имеет вид ( 39 ),где коэффициенты определяет ( 40). Из решения следует, что амплитуды пространственных гармоник распределения температуры экспоненциально затухают во времени и температура всего стержня стремительно обнуляется.