5. Решение ИУ Фредгольма с вырожденным ядром.
Ядро K(t,S) наз. вырожденным, если представляет собой конечную сумму произведений 2х ф-ций, одна из кот. зависит от аргумента t, а другая – от S.
Предполагается, что ф-ции ai и bi – линейно независимы (все ai и все bi линейно независимы), иначе кол-во слагаемых в сумме м.было бы уменьшить.
Р-м интегральное ур-е Фредгольма с ядром вида (1)
Т.о. м.показать, что реш-е ур-я фактически сводится к описанию констант Ci.
В (3) заменим i на j и домножим (3) на bi(t) с последующим интегрированием по t. Получим
Введём [от a до b] ò bi(t)f(t)dt = fi ; [от a до b] ò aj(t) bi(t)dt = Kji.Тогда ур-е примет след.вид:
Выр-е (4) представляет собой систему лин. алгебраических ур-й (СЛАУ), решая кот. мы нах. константы Сi. Метод Гаусса и метод Крамера. Обозначим определитель СЛАУ D(l).
D(l) – полином n-го порядка от-но l. В том случае, если D(l)?0, с-ма ур-й (4) имеет ед.реш-е, кот. определяет реш-е интегрального ур-я (3). Реш-е ур-я с вырожденным ядром фактически сводится к СЛАУ.