20. Теорема Стеклова.
Задача Ш-Л эквивалентна ИУ Ф.
Краевая задача (1)–(2) эквивалентна след.ур-ю Ф:
где G(x,t) – ф-ция Грина диф.оператора L[y], соответствующего ГУ (2).
y(x)=j(x)O[r(x)].
Т.к. ф-ция Грина G(x,t) симметрична, то симметричным б.и ядро K(x,t).
Всё нетривиальные реш-я (4) явл. собств.ф-циями, кот. б.совпадать с собств.ф-циями задачи Ш-Л (1)–(2).
Теорема Стеклова: Всякая ф-ция f(x) из класса А разлагается в ряд по собств.ф-циям задачи Ш-Л, абсолютно и равномерно сходящийся в пр-ке [a;b].
Класс А: 1) ф-ция непрерывна в пр-ке [a;b]; 2) имеет непрерывные производные первого порядка; 3) удовлетворяет ГУ задачи Ш-Л. Док-во:
Согласно ф-ле Гильберта:
Ф-ция f(x) в ф-ле (5) удовлетворяет усл-ям т-мы Г-Ш, т.к. она представима ч/з ядро ИУ G(x,t) ? f(x) мб представлена в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда по собств.ф-циям ядра ИУ. Собств. ф-ции ИУ и задачи Штурма-Лиувилля совпадают, поэтому
Ссылаемся на т-му Г-Ш: Если ф-цию f(x) м.представить в виде:
где g(x) непрерывна на пр-ке [a,b], то ф-цию f(x) м. представить в виде ряда
по собственным ф-циям ядра, абсолютно и равномерно сходящегося в пр-ке [a;b].