6. Метод последовательных приближений решения ИУФ. Резольвента.

K(t,S) в общем случае невырождено. Б.искать реш-е ур-я (1) в виде степенного ряда по «+» степеням l.

(2) – ряд Неймана. Если ряд (2) сходится абсолютно и равномерно, то его можно подставить в ур-е (1) и, приравнивая коэф-ты при одинаковых степенях l, получить формулу д/коэф-тов j_n(t).

Покажем, что ряд (2) при опр.усл-ях б.сходиться д/любых значений tÎ(a,b). Все ф-ции j_n(t) явл. непрерывными, т.к. они определяются интегралами от непрерывных ф-ций. f(t) непрерывна в пр-ке [a,b]. Ядро K(t,S) непрерывно в квадрате Q={a£t,S£b}. Далее б.называть наш квадрат – квадратом Q. Т.к. эти ф-ции непрерывны, м.сделать след.оценку:

/f(t)/ £ m, /K(t,S)/ £ M. Сделаем оценки д/коэф-та j_n(t).

Тогда д/n-го члена ряда (2) получим оценку:

Из (3) следует условие сходимости от-но пар-ра l. [] дб < 1, чтобы при n®¥ ряд сходился.

/l/ < 1/[M (b–a)] (*)

Усл-е (*) явл.сильным и ограничивает область применения реш-я в виде ряда (2). Получим др.форму реш-я, введя новое обозначение.

– n-e итерированное (повторное) ядро.

K₁(t,S)=K(t,S). n-е итерированное ядро нах.ч/з (n–1) квадратуру (или (n–1) интеграл).

Порядок интегрирования знач-я не имеет. Д/итерированных ядер м.ввести след.оценки:

/K_n(t,S)/ £ Mⁿ(b–a)^n–1

Р-м степенной ряд с коэф-тами K_n(t,S).

Выразим коэф-ты jт(е) ч/з заданную ф-цию f(t).

Подставим найденные т.о. знач-я в ряд (2), получим

Сравниваем полученное с (4)

– явл.реш-ем ур-я Ф при усл-ии (*). Ф-ция R(t,S;l) наз. резольвентой ядра ИУ-я или разрешающим ядром ИУ, кот не зависит от вида ф-ции f(t).

Ф-ла (5) справедлива и д/всех зн-й l, д/кот.не выполняется усл-е (*), но д/резольвенты дб получена др.форма реш-я. Это и есть реш-е Ф.

Д/резольвенты выполняется 2 важных соотн-я:

Из (6) резольвенту найти нельзя. Получим 1ое соотн-й из (6). Д/этого в выр-ии (4) заменим S на S₁, домножим на K(S,S₁) и проинтегрируем по S₁.