1.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

Последовательность называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого существует такое натуральное число , что для любого и любого справедливо неравенство .

Теорема ( Критерий Коши ).

Доказательство:

Необходимость. Пусть сходится.

Достаточность. Пусть - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и .

Так как последовательность фундаментальна, то , в -окрестности которой существуют все элементы .

Предположим, .

В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. - ограничена.

Вследствие теоремы Больцано-Вейерштрасса () < ().

в силу произвольности