3.1. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим решение этой системы методом простых итераций. Для применения этого метода необходимо предварительно преобразовать систему (12) к виду
, (13)
где матрица 
такова, что выполнены достаточные условия сходимости итерационного процесса : 
или 
.
Зададим произвольно начальный вектор приближения 
и подставим его в правую часть преобразованной системы уравнений. Получим первое приближение 
. Аналогично получим 
. Итак, итерационная формула
(14)
или в координатной форме:
(15)
осуществляет итерации по “совокупности координат”. Последовательность векторов 
, полученных по этой формуле, сходится к решению, если выполнены вышеприведенные достаточные условия сходимости.
Пусть 
, тогда, переходя к пределу в равенстве (14), имеем
или имеет место формула (13). Следовательно, вектор 
- решение системы.
Если в исходной системе (12) преобладание диагональных элементов 
над остальными коэффициентами значительное, то сходимость итерационного процесса обеспечена. В этом случае переход от исходной системы (12) к виду (13) можно осуществить путем деления каждого уравнения системы (12) на коэффициент 
, формирования столбца 
в левой части и переноса остальных членов в правую часть.
. Тогда 
.
Рабочая формула итерационного процесса имеет в этом случае следующий вид:
Начальное приближенное решение можно взять произвольно, например, равным столбцу свободных членов 
. Далее последовательно получаются приближения 
. Если для преобразованной системы (13) выполнено по меньшей мере одно из достаточных условий сходимости, то процесс итераций (14) сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.
Для системы (12) метод итераций сходится, если выполнены неравенства 
, т.е. модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).
Итерационный процесс следует закончить, когда два последовательных приближения близки между собой по норме 
, где 
- заданная точность.