[§ 4. СЛОЖЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ И ЛИНЕЙНЫХ ВЕЛИЧИН]  

а + Ъ = 25,

т.е. сумма двух точек есть их середина с коэффициентом 2.

Пусть теперь г - некоторая точка, тогда, если требуется, что&бы отношение умножения к сложению было всегда справедливо, то должно быть

га + rb = r(a + b) = Irs.

Отсюда тотчас же следует, что сумма га и rb есть диагональ rd па&раллелограмма arbd, и что, если га и rb имеют одинаковое напра&вление, то сумма так же велика, как составленные вместе эти два отрезка, следовательно, сумма оказалась бы той же самой, если сложить отрезки как числовые величины. Существенно, что если

a,b,c- точки, лежащие на одной и той же прямой линии, то все&гда ab + be = ас. Отсюда следует также, что a ab, где а - некото&рое число, можно истолковать как линейную величину, которая имеет то же положение, что и ab, и больше, чем ab, в а раз, и что отрезок ab представляет собой в точности значение меры комби&нации ab, в то время как линия ab - бесконечное положение этой комбинации.

Теперь мы можем легко отыскать сумму аа + р/?, где а и Р - числа, а а и b - точки, если сумма а + р отлична от нуля. А имен&но пусть

aa + $b = xsy тогда для каждой точки г: r(aa + pb) = xrsy

т.е.

ara + $rb = xrs              (10)

и, стало быть, rs есть нуль, если г и s совпадают.

asa + $sb = 0,              (И)

т.е. s - центр тяжести отрезка, соединяющего точки акЬ, если к ним приложены веса, пропорциональные числам а и р. Далее, ес&ли г и а в равенстве (10) совпадают, т.е. га становится равным ну&лю, то

Рab = хas,

если же в (10) г равно Ъ, т.е. rb становится равным нулю, то aba = xbs.

Итак, сумма двух точенных величин, коэффициенты которых отличны от нуля, является центром тяжести с коэффициен&том, равным сумме коэффициентов точечных величин.

Каким образом эта связь точек или точечных величин, на&званная здесь сложением (можно показать, как это название связано с существом дела), каким образом из нее выводится соот&ветствующее вычитание, как разность двух точек оказывается отрезком с постоянным направлением и длиной[128], каким образом из сложения происходит вычитание таких отрезков, - все это можно здесь не рассматривать, поскольку можно предполагать известным из сочинений и исследований Мёбиуса и Г. Грассма&на. Теперь ясно, каким образом можно продолжить пройденный путь, для того чтобы получить подобные методы и законы. Все же ниже я выведу эти законы, по крайней мере, для точек и их кратных.

Именно по этой причине я не могу здесь останавливаться на том, чтобы показать, каким образом связь, обозначенная здесь как комбинация, может быть охвачена единым понятием с ал&гебраическим умножением. При этом для первого я резервирую название внешнее, или комбинаторное, умножение. Я не пока&зываю, как отсюда развертывается операция умножения отрез&ков (как линий фиксированной длины и направления) и умно&жения точечных величин на отрезки, как можно комбинаторно перемножать между собой линейные величины и как отсюда снова вытекают соответствующие законы для умножения пло&ских областей между собой и с отрезками. Относительно всего этого я должен отослать читателя к «Учению о протяженности» Грассмана.

Поэтому я перехожу, применяя коллинеацию, к разверты&ванию действительно новых методов вычислений, причем, предполагаю известными результаты, полученные в указан&ном сочинении.