Рассмотрим теперь две величины (формы), которые возника&ют в результате повторения одного и того же процесса порожде- ния. Ясно, что эти величины можно связать друг с другом так, чтобы они составляли единое целое, мысленно соединяя содержа&ние обеих, то есть части, из которых они состоят. Ясно, что это целое будет мыслиться тогда порождаемым в том же смысле, что и обе данные величины. Теперь легко показать, что эта связь яв&ляется сложением, то есть что она простая, и ее анализ однозна&чен. Прежде всего, я могу произвольно соединять и переставлять, поскольку части, которые при этом имеются в виду, остаются те&ми же самыми, и их последовательное расположение ничего не может изменить, так как все они равны (как одинаково порож&денные). Но и анализ их однозначен, ибо если бы это было не так, то при синтетическом соединении, в то время как один из членов и результат оставались бы теми же самыми, другой член мог бы принимать различные значения; тогда одно из этих значений было бы больше, чем другое18*. Тогда к последнему можно было бы при&соединить еще части, но эти же части оказались бы присоединен&ными и к результату, следовательно, результат стал бы другим, что противоречит предположению. Итак, поскольку соответствующая аналитическая связь однозначна, синтетическую связь можно рас&сматривать как сложение, а соответствующую аналитическую связь - как вычитание, поэтому для этих связей имеют силу зако&ны, установленные в параграфах 3-7.
В этих параграфах показано, что законы, которым подчиняются указанные связи, сохраняют свою силу и тогда, когда рассматриваются отрицательные величи&ны. Сравнивая отрицательные и положительные величины, мы можем сказать, что они порождены в противоположном смысле; величины же, порожденные как в прямом, так и в противополож&ном смысле, мы можем объединить общим названием однородных величин, и, таким образом, нами определено общее реальное поня&тие сложения и вычитания однородных величин.§ 9. Связи различных ступеней. Умножение
До сих пор мы рассматривали только один вид синтетической связи, как сам по себе, так и в отношении его к соответствующей аналитической связи. Перейдем теперь к изложению отношения между двумя различными видами синтетической связи. В итоге один вид связи должен быть определен через другой19*. Это опре&деление зависит от того, каким образом без изменения совмест&ного результата может быть преобразовано выражение, содер&жащее оба вида связи.
Самый простой способ, при котором в некотором выражении могут использоваться оба вида связи, состоит в том, что резуль&тат одной из связей подчиняется другой связи. Поэтому, если п и ffl - знаки указанных связей, то отношение между связями зави&сит от преобразований, допустимых над выражением (ar\b) їгй с. Если вторая связь применима к обоим членам первой, то самое простое преобразование данного выражения состоит в том, что&бы сначала каждый член, задействованный в первой связи, под&чинить второй связи, а полученные результаты в качестве ее членов - первой связи. Если это преобразование может быть осуществлено без изменения общего результата, то есть если (a n b) (Я1 с = (a fn) с) п (Ь И с),
то мы называем вторую связь связью более высокой ступени, чем первая.
В частности, если члены второй связи зависят от первой связи таким образом, что удовлетворяют приведенному выше определе&нию, и первая связь является простой, а соответствующая ей ана&литическая - однозначной, то вторую связь мы называем умноже&нием, в то время как за первой связью сохраняем ранее принятое название - сложение. Здесь перед нами вообще тот случай, когда с самого начала, то есть когда не дано никакой связи, первая связь может быть определена вместе с присоединенной к ней связью бо&лее высокой ступени. Поэтому-то мы и рассматриваем сложение как соединение первой ступени, а умножение - второй ступени[102].
Впредь мы, вместо общих знаков для связей такого рода, вы&бираем общепринятые знаки, а в случае умножения просто опус&каем знак связи.