§ 2. Сложение  

Эти сочленения называют сложением единичностей.

10. Обозначение. Сумма одной положительной и одной отри&цательной единичностей обозначается через 0 (ноль), т.е.

е + -е = 0.

11. Обозначение.
    Вместо 0 + -е пишут -е.

0 + -е = -е.

12 .В соответствии с этим последовательность, получаю&щаяся из единицы е,

..., -е + -е + -е, -е + -е, -е, 0, е, е + еу е + е + е, ...

Члены этой последовательности, предшествующие члену -е, суть суммы отрицательных единичностей, члены последова&тельности, следующие за е> суть суммы положительных еди&ничностей.

Доказательство. Члены основного ряда, следующие за е> возникли (согласно 7) из е путем последовательного прибавления

положительных единичностей. Члены, предшествующие е, воз&никли из е путем последовательного прибавления отрицательных единичностей, а именно член, непосредственно предшествующий е, есть е + -е = 0 (согласно 10). А член, предшествующий нулю, есть 0 + -е = -е (согласно 11). Все члены, предшествующие члену -е, возникают из -е посредством последовательного прибавления отрицательных единичностей и поэтому представляют собой сум&мы отрицательных единичностей.

13. а + е + -е = а.

Последовательное прибавление одной положительной и од&ной отрицательной единичностей ничего не меняет.

Доказательство. Пусть b есть член основного ряда, непо&средственно следующий за а\ тогда

b = а + е              (согласно 8).

а = b + -е              (согласно 9).

Если во второе равенство подставить значение 6, которое оно имеет в первом равенстве, то мы получим

а = а + е + -е.

14. а + —е + е — а.

Последовательное прибавление одной отрицательной и од&ной положительной единичностей ничего не меняет.

Доказательство. Пусть b есть член основного ряда, непо&средственно предшествующий а\ тогда

а = b + -е              (согласно 8)

b = а + -е              (согласно 9).

Если в первом равенстве заменить b его значением из второ&го равенства, то получится

а = а + -е + е.

15. Определение.
    Если а и Ъ произвольные члены основного ряда, то под суммой а + b понимают такой член основного ряда, для которого справедлива формула

а + ф + ё) = а + b + еу

а и b называют слагаемыми, или частями, а + by а - первым, b - вторым слагаемым. Такое соединение называется сложением. В словесном выражении эта формула гласит:

Вместо того чтобы прибавлять единичность ко второму слагаемому, ее можно прибавить к сумме, или:

Вместо того чтобы прибавлять положительную единич&ность к сумме, ее можно прибавить ко второму слагаемому6[130].

16. Добавление. Величина а + ф + е) есть член основного ря&да, непосредственно следующий за членом а + Ь,иа + bесть член этого ряда, непосредственно предшествующий величине а + ф + е).

Доказательство, а + ф + е) равно (согласно 15) а + b + е, т.е. (согласно 8) член основного ряда, непосредственно следующий за а + Ь, или, что то же самое, а + Ъ есть член этого ряда, непосред&ственно предшествующий величине а + ф + е).

17. а + ф + -е) = а + b + -е.

Вместо того чтобы прибавлять отрицательную единич&ность ко второму слагаемому у ее можно прибавить к сумме, или:

Вместо того чтобы прибавлять отрицательную единич&ность к сумме, ее можно прибавить ко второму слагаемому.

Доказательство (последовательное).

а + ф + -е) = а + + + е +              (согласно 13)

(согласно 15) (согласно 14)7*.

Примечание 1. При последовательном доказательстве мы ис&ходим из левой части доказываемого равенства, и шаг за шагом преобразуем его правую часть; при этом мы, как правило, стре&мимся сделать так, чтобы последняя имела тот же самый заклю&чительный член, что и левая часть.

Примечание 2.

Номер, помещенный в [круглых] скобках ря&дом с формулой, служит для выражения того, что формула полу&чена из предложения, фигурирующего под соответствующим но&мером8*. В случае устного воспроизведения эти номера следует опускать; вместо этого, прежде чем производить вывод формулы, следует привести словесную формулировку того предложения, на которое необходима ссылка, и в нужных случаях также указать, как это предложение следует применить к только что получен&ной формуле. Если вслед за номером, помещенным в скобке, сто&ит буква Ьу то это означает, что нужно избрать вторую словес&ную формулировку, входящую в предложение, на которое дается ссылка. Чтобы пояснить на примере, как такое доказательство звучит устно, дадим словесную формулировку приведенного вы&ше доказательства:

Доказательство в словесной форме

Мы исходим из левой части доказываемого равенства, т.е. из

а + ф + -€).

Это выражение можно привести к такой форме, чтобы оно, подобно правой части, оканчивалось выражением + -е, это воз&можно, так как последовательное прибавление положительной и отрицательной единичности ничего не меняет. Тогда приведенное выше выражение примет вид

= а + ф + -е) + е + -е.

Но вместо того чтобы к сумме а + ф + -е) прибавлять поло&жительную единичность, ее можно прибавить ко второму слагае&мому, поэтому данное выражение

= а + ф + -е + е) + -е.

Последовательное прибавление отрицательной и положи&тельной единичностей ничего не меняет; применение этого свой&ства к выражению, стоящему в скобке, приводит полученное только что выражение к виду

а + b +

Следовательно, а + ф + -е) = а + Ь + -еу то есть: вместо того чтобы прибавлять отрицательную единичность ко второму слагаемому, ее можно прибавить к сумме.

18. а + 0 = а.

Прибавление нуля ничего не меняет.

Доказательство.

а + 0 = а + (е + -е)              (согласно 10)

положительную единичность ко второму слагаемому, ее можно прибавить к сумме (согласно 15).

Стало быть, вместо того чтобы ко второму слагаемому суммы а + е последовательно прибавлять несколько единичностей, их можно прибавить к сумме а + е, сле&довательно, вместо того чтобы прибавлять к а некоторую сумму положительных едничностей, эти единичности можно последова&тельно прибавлять к а.

2. Если (/?) есть сумма отрицательных единичностей, доказа&тельство остается тем же самым, только вместо положительных единичностей, фигурирующих в доказательстве 1, везде следует брать отрицательные единичности.

20. е + а = а + е.

Если одно из двух слагаемых есть положительная единич&ность, то слагаемые можно поменять местами.

Доказательство. (Относительно а). Допустим, что формула (20) справедлива для некоторой величины а9*. Тогда можно, во- первых, показать, что она справедлива и для величины = а + е, не&посредственно следующей за а, т.е. что

е + (а + е) = а + е + е, ибо имеет место

е + {а + е) = е + а + е              (согласно 15),

= а + е + е,

так как, согласно предположению, формула (20) должна быть справедлива для значения а.

Таким образом, если формула (20) справедлива для некоторо&го значения а, она справедлива и для непосредственно следующе&го значения, а, стало быть, и для значения, которое непосредст&венно следует за этим последним, и так далее, следовательно, для всех последующих значений.

Покажем, во-вторых, что исходная формула справедлива для члена ряда, непосредственно предшествующего а10*, т.е. для а + -е, иными словами, покажем, что

е + (а + -е) = а + - е + е.

Имеет место равенство

е + (а + -е) = (е + а) + -е

= а + е + -е = а + -е + е

Итак, если исходная формула справедлива для некоторого значения а, то она справедлива для непосредственно предшеству&ющего значения, а, значит, и для значения, которое непосредст&венно предшествует этому последнему, и, таким образом, спра&ведлива для всех значений, предшествующих а.

Наконец, в-третьих, формула (20) справедлива для случая, ко&гда а = е11*9 ибо тогда справедливо

е + а = е + е = а + е.

Формула (20) справедлива для некоторого значения, следова&тельно, в соответствии с первой частью доказательства, справед&лива для всех последующих значений, и в соответствии со второй частью, - также и для всех предшествующих значений, стало быть, она справедлива для всех значений.

Примечание.

Доказательства данного вида называются инду&ктивными. В дальнейшем они будут представляться в несколько более сокращенной форме.

21. -е + а = а + -е.

Если одно из двух слагаемых есть отрицательная единич&ность, то слагаемые можно поменять местами.

Доказательство. Точно такое же, как и в номере 20, только вместо е следует брать -е, вместо е брать е, а вместо «предшест&вующий» брать «[по]следующий», и наоборот.

22. а + ф + с) = а + Ь + с™.

Вместо того чтобы прибавлять сумму, можно последова&тельно прибавлять слагаемые [этой суммы],

или:

Вместо того чтобы прибавлять последовательно две вели&чины, можно прибавить их сумму.

Доказательство (индуктивное относительно с). Допустим, что формула 22 справедлива для какого-то значения с; тогда справедливо

а + [Ь + (с + е)] = а + [Ь + с + е]              (согласно 15)

ния, и, следовательно, для всех последующих значений. Равным образом, при том же предположении справедливо:

а + [Ь + (с + -е)] = а + [Ь + с + -е]              (согласно 17)

= а + ф + с) + -е              (согласно 17)

= а + Ь + с + -е              (согласно допущению)

= а + Ь + (с + -е)              (согласно 17&)13*,

то есть: если формула 22 справедлива для какого-либо значения с, то она справедлива и для непосредственно предшествующего значения, следовательно, справедлива для всех предшествующих значений.

Но она справедлива для с = е (согласно 15), стало быть, она справедлива для всех значений.

23. а + Ъ = Ъ + а.

Два слагаемых суммы можно менять местами. Доказательство (индуктивное относительно Ь). Допустим, что формула 23 справедлива для некоторой величины 6, тогда справедливо

a + (b + e) = a + b + e              (согласно 15)

= b + а + е              (согласно допущению)

= Ъ + (а + е)              (согласно 15 Ь)

= Ь + (е + а)              (согласно 20)

-b + е + а              (согласно 22)

и

a + (b + -e) = a + b + -e              (согласно 17)

= b + а + -е              (согласно допущению)

= b + (а + -е)              (согласно 17 Ь)

= b + (-є + а)              (согласно 20)

= b + -е + а              (согласно 22),

то есть: если формула 23 справедлива для какого-либо из значе&ний fc, то она справедлива для всех последующих и для всех пред&шествующих значений. Но она справедлива для значения е, так как

а + е = е + а              (согласно 20).

Следовательно, она справедлива вообще.

24. я + 6 + с = я + с +

Порядок, в котором производится последовательное приба&вление, безразличен для результата.

Доказательство.

а + 6 + с = д + (Ь + с)              (согласно 22 Ь)

= д + (с + 6)              (согласно 23)

= я + с + fr              (согласно 22).

25. 0 + а = я+ 0

//олъ в качестве слагаемого ничего не меняет14*. Доказательство.

0 + а = а + 0              (согласно 23)

= а + (е + -е)              (согласно 10).

= а + е + -е              (согласно 22)

= а              (согласно 13).

26. Для любых двух величин а и bосновного ряда существу&ет некоторая третья величина х того же ряда такая, что если ее прибавить к первой из двух упомянутых величин, то она да&ет вторую величину, т.е. такая, что

b = а + х.

Доказательство (индуктивное относительно b). Допустим, что данное предложение справедливо для некоторо&го значения Ь\ тогда оно справедливо и для значения, непосредст&венно следующего за Ь. Ибо если х есть величина основного ряда и b = а + ху

то

Ь + е = а + + е              (согласно допущению)

= а + (х + е)              (согласно 22Ь),

следовательно, существует также некоторая величина основного ряда (а именно х + е) такая, что если ее прибавить к я, то она да&ет b + е; это значит, что, в силу сделанного допущения, наше пред&ложение справедливо и для b + е.

b + -e = а+ х +              (согласно допущению)

= a +(jc + -е)              (согласно 22Ь),

то есть: при том же предположении, данное предложение спра&ведливо и для Ь + -е.

Итак, если это предложение справедливо для какого-либо значения Ь, то оно справедливо и для любого значения, предшест&вующего Ь.

Но рассматриваемая формула справедлива для Ъ = я, посколь&ку в этом случае

b = а = а + 0              (согласно 25).

Следовательно, наше предложение справедливо вообще.

27. Гипотеза (гжовєоїд) а + Ъ = а + с.

Тезис (fteoig) b = с.

Если две величины (Ъ и с) таковы, что, будучи прибавлены каждая к одной и той же величине (а), дают равные суммы, то они равны между собой.

Доказательство (последовательное).

Для того чтобы можно было, используя допущение, содержа&щееся в гипотезе, преобразовать b в с, надо сначала преобразо&вать Ъ так, чтобы значение этой величины осталось тем же са&мым, но величина а выступила в качестве части некоторого вто&рого слагаемого, т.е. к b надо прибавить некоторую величину а + jc, являющуюся нулем.

Действительно, согласно 26, всегда существует некоторая величина х такая, что

* а + jc = 0. Тогда