[§3. ТОЧЕЧНЫЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ]  

Так, например, точка как таковая изображает только место в пространстве, но точка, снабженная определенным числовым ко&эффициентом, становится пространственной величиной. Этот ко&эффициент может быть равным единице, тогда и сама точка ока&зывается величиной, но лишь постольку, поскольку она воспри&нимается как наделенная способным изменяться числовым коэф&фициентом, в частности принимающим значение единицы. Тем самым точка, как всякая величина, оказывается способной к уве&личению и уменьшению. Другим примером может служить огра&ниченный отрезок прямой линии, который становится простран&ственной величиной, вследствие того что линия представляется как его (бесконечное) положение в пространстве, а длина - как его метрическое значение. Если мера величины становится рав&ной нулю, то величина исчезает, и тогда она сама должна быть полагаема равной нулю.

Точки и прямые, снабженные мерой, я буду для краткости на&зывать точенными и линейными величинами, а под комбинацией ab двух точечных величин а и Ьу т.е. двух точек, наделенных ко&эффициентами, понимать линейную величину, линия которой проходит через точки, относящиеся к величинам а и Ь, а значение меры будет установлено позднее. И точно так же под комбинаци&ей АВ двух линейных величин А и В (т.е.

Прежде всего, я рассматриваю комбинацию двух точек. Если обе точки совпадают, то линия, соответствующая их комбинации, является неопределенной, и результат связывания был бы неопре&деленным, если не предполагать, что в таком случае значение ме&ры [их комбинации] станет равным нулю. Итак, чтобы сделанное выше предположение оставалось в силе, мы должны положить равной нулю комбинацию двух точечных величин, если их точки совпадают. Из тех же соображений линейные величины полагают&ся равными нулю, если соответствующие им прямые линии совпа&дают. Далее, если одна из двух точенных величин равна нулю, то ее точка может иметь произвольное положение, и, следовательно, линия, соответствующая комбинации этой точки с другой точеч&ной величиной, неопределенна. Итак, для того чтобы сохранить справедливость сделанного предположения, нужно положить рав&ной нулю комбинацию рассматриваемых точек. На том же основа&нии и комбинация двух линейных величин полагается равной нулю, если одна из них равна нулю. Но так как ни в каких других случа&ях, кроме названного выше, пространственное положение резуль&тата не является неопределенным, то мы должны установить, что ни в каких других случаях результат не может быть равным нулю. Таким образом, мы получаем окончательное определение:

Две точечные величины или две линейные величины дают в результате комбинации нуль тогда и только тогда, когда или одна из них нуль, или обе занимают одно и то же положение.

Этот способ обозначения позволяет представить каждую ли&нейную зависимость в виде равенства, одна из сторон которого есть нуль, в то время как другая не содержит никаких иных свя&зей, кроме установленных выше.

аЪ = О,

означает, что точки а и b совпадают, а равенство (ab)(cd)e = О,

означает, что е является точкой пересечения прямых ab и cd> так как комбинация (ab) (cd) выражает точку пересечения прямых ab и cd, а равенство (ab)(cd) = 0 - тот факт, что е совпадает с этой точкой. В подобных равенствах вместо каждой отличной от нуля точечной или линейной величины можно подставлять другие та&кие же величины с одинаковым положением в пространстве, т.е. такие, которые в комбинации дают нуль. Ясно также, что теперь посредством такого понятия равенства комбинаций можно сфор&мулировать принцип коллинеации, заключающийся в том, что для каждого равенства комбинаций точек некоторой системы имеет место равенство комбинаций соответствующих точек кол- линеарной системы.

Остается еще рассмотреть комбинацию точечной и линейной величин. Для этого случая мы можем аналогично установить факт, что комбинация обращается в нуль тогда и только тогда, когда или один из связываемых членов есть нуль, или же данная точка лежит на рассматриваемой прямой.

Насколько плодотворна эта простая идея и сколько из нее следует неожиданных выводов о природе кривых линий, Г. Грасс&ман показал в своей статье в журнале Крелле Journal fur Math., Band 31. Указанным способом можно установить равенство, свя&зывающее десять точек плоскости, пять из которых коллинеарны остальным пяти, поскольку для этого требуется лишь получен&ным выше способом посредством линий составить известную конструкцию из пяти соответствующих точек, для того чтобы по&лучить требуемое равенство. Однако все это могло бы оказаться слишком сложным и вовсе неподходящим для непосредственного представления сути коллинеации.