§ 3. Вычитание  

= а + {Ь-с +с)-с = а + Ь-с

31. а - (Ь + с) = а - b - с.

Вместо вычитания некоторой суммы можно последова&тельно вычесть слагаемые или:

Вместо последовательного вычитания двух величин можно вычесть их сумму.

Доказательство (возвратное [zuruckschreitend]) а-Ь-с = а-Ь-с + ф + с)-ф +с)

= а - b - с + (с + b) - ф + с) = я- Ь- с + с + Ь-(Ь + с) = а-Ь + Ь-ф +с)

= а - ф + с)

Примечание.

Доказательство называется возвратным, если правая часть доказываемого равенства шаг за шагом преобразу&ется в левую часть.

32. а - ф - с) = а - b + с.

Вместо вычитания разности можно последовательно вы&честь уменьшаемое и прибавить вычитаемое или:

Вместо последовательного вычитания одной величины и прибавления другой можно вычесть разность первой и второй величин.

Доказател ьство.

а-ф-с) = а-ф~с)-с + с              (согласно 28)

= а-ф-с +с)+ с = а-Ь + с

33. a-b-c = a- c-b.

Порядок, в котором производится последовательное вычи&тание, безразличен для результата. Доказательство.

а-Ь-с = а-ф-\-с) = а-(с + Ь) = а-с -b

34. a + b- c = a- c + b

Порядок, в котором последовательно одна величина приба&вляется, другая вычитается, безразличен для результата. Доказательство.

a+b-c=a+b-c-b+b =a+b-b-c+b = а-с + b

35. я - 0 = я.

Вычитание нуля ничего не меняет. Доказательство.

я-0=я-0+0

= а

36. а - а = 0.

Разность двух равных величин есть нуль. Доказательство.

я - я = 0 + (я - я)

= 0 + я - я

= 0

37. 38. Обозначение. Вместо 0-я можно писать -я, а вместо я можно писать +я; +я и -я называются означенными [bezeichnete] величинами, причем +я и +ft, а также -я и -ft называются равно- означенными [gleichbezeichnete], +я и -ft - неравноозначенными [ungleichbezeichnete] величинами.

0 - я = -я.

+ я = я.

39. я + (-6) = я - ft.

Плюс минус можно заменить минусом.

Доказательство.

я + -ft = я + (0 - Ь)

= я + 0 - ft

= я - ft

40. я —ft = я + ft, т.е. —ft = ft.

Минус минус можно заменить плюсом. Доказательство.

1. я - -ft = я - (0 - ft)

=я-0+й = я + ft

2. ft = 0 —ft

= 0 + ft = ft

41. - а + -b = - а - b = - (а + b).

Чтобы сложить две величины, означенные минусом {или прибавить их друг к другу), можно сложить [соответствую&щие] неозначенные величины и перед суммой поставить знак ми&нус.

Доказательство.

-a + -b = -a-b              (согласно 39)

42. Чтобы сложить две неравноозначенные величины, мож&но произвести вычитание неозначенных величин и перед остат&ком поставить тот знакf какой имела величина, взятая в каче&стве уменьшаемогоt то есть а + -Ь = а - b

= -b + а = - (b - а). Доказательство.

а л- -b-a-b              (согласно 39)

a + -b = -b + a              (согласно 23)

...

+ а-Ь ... = ... -b + а ... ... -а-Ь ... = ... - Ь -а ...,

многоточия означают, что перед этими членами и после них мо-

жет стоять сколь угодно много членов. (Если перед ними не сто&ит ни один член, то, в соответствии с 25 и 37, в качестве предше&ствующего члена можно ввести нуль.)

Доказательство.

(согласно 24) (согласно 34) (согласно 33).

41. Значение полинома не зависит от порядка его членов.

Доказательство. Поскольку (согласно 44-46) каждый член полинома можно поменять местами с непосредственно предшест&вующим и непосредственно последующим его членами, то каж&дый член полинома можно поместить в нем на любое место, по&вторно ставя его на место непосредственно последующего или не&посредственно предшествующего члена. Поэтому он может ока&заться как на любом последующем, так и на любом предшеству&ющем месте. Значит, члены полинома можно располагать в лю&бом порядке, и это не меняет его значения.

48. Вместо прибавления полинома можно последовательно прибавить его члены или:

Вместо последовательного прибавления членов полинома можно прибавить полином, то есть:

... + (/>) = •..л

где (Р) означает полином, а Р - последовательно присоединяемые его члены. При этом предполагается, что если первый член не имеет никакого знака, то (согласно 38) ему приписывается знак плюс.

Доказательство 1.

Пусть (Р) есть бином; тогда

а + (Ь + с) = я + /> + с              (согласно 22)

а + (й-с) = а + й- с              (согласно 30).

Далее,

Если скобке со знаком плюс не предшествует никакая величи&на, то (согласно 25) к ней можно добавить в качестве первого чле&на нуль, то есть в приведенных выше формулах положить а = 0, в заключительных же формулах нуль, в свою очередь (согласно 25 и 37), удалить.

Доказательство 2.

Если (Р) есть полином, состоящий из бо&лее чем двух членов, то мы восстанавливаем все скобки, опущен&ные в соответствии с № 5; все эти скобки начинаются, согласно № 5, с первого члена полинома, то есть в нашем случае непосред&ственно после первого стоящего впереди знака +, и каждая из них заключает в себе только две величины. Следовательно, согласно доказательству 1, можно начать с того, что удалить внешнюю скобку, так как она заключает в себе только две величины и яв&ляется плюсовой скобкой [die Plusklammer]. По этой же причине можно затем удалить скобку, которая теперь стала внешней и на&чинается с первой величины, и так далее, до тех пор, пока не ис&чезнут все скобки.

Пример доказательства для четырех величин:

... ф + с + d + ё) = ... + ([(& + с) + d\ +е)              (согласно 5)

+ [Ф + с) + d] + е

+ ф + с) + d + е +b+c+d+e

(согласно доказательству 1)

(согласно 5)

(согласно 5).

*49. Вместо вычитания полинома можно знаки всех его чле&нов заменить противоположными и последовательно присоеди&нить полученные таким путем члены

или:

Вместо последовательного присоединения членов некото&рого полинома можно заменить все знаки членов этого полино&ма противоположными и вычесть полученный таким путем по&лином, то есть

где (Р) означает некоторый полином, а Р' - последовательный ряд членов, возникающий из полинома (Р) путем замены всех его членов противоположными.

Доказательство 1. Пусть (Р) есть бином; тогда

а-ф +с) = а-Ь-с а-ф-с) = а-Ь + с

Далее,

а - (-Ъ + с) = а —Ь - с

-а + Ь- с а - {-Ь - с) = а —b + с = а + Ь + с

Если скобке со знаком минус не предшествует никакая вели&чина, то (согласно 37) можно начать с того, что присоединить в качестве первого члена нуль, а на заключительном этапе его уда&лить (согласно 25 и 37).

Доказательство 2.

Пусть (Р) есть полином, содержащий бо&лее чем два члена. Тогда можно поступить так, как это было в до&казательстве 2 предшествующего предложения. Затем, раскры&вая ту скобку, которая каждый раз является внешней, знак пос&леднего члена полинома заменить (согласно доказательству 1) противоположным, затем так же поступить со знаком последу&ющего члена, и так далее до тех пор, пока мы не дойдем до вто&рого члена полинома.

Пример доказательства для четырех членов:

a-(b-c + d-e) = a- ([(fe - с) + d] - е)              (согласно 5)

= а -[(Ь - с) + d] + е

= a-(b-c)-d + e = a-b + c-d + е

(согласно доказательству 1)

(согласно 31)

(согласно 32).

(согласно 36),

то есть формула 10 справедлива и тогда, когда вместо е берется а.

то есть формула 11 также справедлива для этого обобщения.

Затем устанавливается, что обобщение № 13 содержится в № 29, обобщение № 14 - в № 28, № 15 и 17 - в № 22, а № 20 и 21 - в № 23.

*51. Если тем же способом, каким из е был получен основной ряд, из отличной от нуля величины Е этого ряда получается некоторая последовательность величин, то в ней, как и в основ- ном ряде, каждый член отличен от всех остальных.

Доказательство. Пусть Л есть член последовательности, полу&ченной из который следует за членом В\ это означает (согласно 8), что В строится из А путем последовательного прибавления ве&личины Е. Поскольку Е не равно нулю, оно (согласно 12) равно ли&бо е, либо -е, либо сумме положительных единичностей, либо сум&ме отрицательных единичностей. Вместо того чтобы прибавлять сумму, состоящую из двух или более членов, соответствующие ве&личины можно (согласно 48) прибавить последовательно. Следова&тельно, В строится из А так, что прибавляются последовательно положительные или же, так же последовательно, отрицательные единичности, то есть (согласно 8,9) В есть либо некоторая следую&щая за А величина основного ряда, либо некоторая его величина, предшествующая Л, следовательно (согласно 7) она отлична от А.

Примечание. Если некоторый ряд величин R развертывается, исходя из какой угодно отличной от нуля величины Еу которая принадлежит основному ряду, в соответствии с процедурой, ука&занной в № 7, то величину Е можно положить в качестве единич&ности, а ряд величин R - в качестве основного ряда. Тогда для этой новой единичности и этого нового основного ряда справед&ливы все до сих пор установленные предложения.