§ 27. Недостаточность наших аксиом и правил

Несмотря на то, что все известные положения аристотелевской логики можно доказать с помощью наших аксиом и правил принятия, а все неправильные формы силлогизмов можно опровергнуть с помощью наших аксиом и правил отбрасывания, результаты далеки от того, чтобы считаться удовлетворительными.

(FI) ClabCNAabAba.

Оно означает «Если некоторое аесть b, то если не верно, что всякое аесть b, то всякое bесть а».Это выражение не является истинным в аристотелевской логике, и не может быть доказано с помощью аксиом принятия, однако, будучи совместимо с ними и прибавлено к этим аксиомам, оно не порождает какой-либо неправильной формы силлогизма. Оно заслуживает внимания при рассмотрении расширенной системы силлогистики.

Из законов аристотелевской логики

САаЫаЬ и

CAbalab

и закона теории дедукции (т) CCprCCqrCCNpqr мы можем вывести следующее новое положение 78:

(т) р/Aab, q/Aba, г /labX С8 — С50—78

CCNAabAbalab.

Это положение является обратной импликацией по отношению к (F1) и вместе с (F1) дает эквивалентность. На основе этой эквивалентности мы можем определить функтор / через А:

(F2) lab = CN Aab Aba.

Это определение гласит: «Некоторое а есть Ь» озна-чает то же самое, что «Если неверно, что всякое а есть Ь, то всякое bесть а». Так как выражение «Если не-р, то q» эквивалентно альтернативе «Или р, или q»,то мы можем также сказать: «Некоторое а есть Ь» означает то же самое, что «Или всякое а есть b, или всякое b есть а». Не представляет труда найти интерпретацию этой расширенной системы на так называемых кругах Эйлера.

В результате этого рассмотрения оказывается, что наша система аксиом и правил не является категорической, иными словами, не все интерпретации нашей системы верифицируют и фальсифицируют одни и те же формулы, не все интерпретации изморфны. Только что изложенная интерпретация верифицирует формулу (F1), которая не выполняется в аристотелевской логике. Поэтому система наших аксиом и правил недостаточна, для того чтобы дать полное и точное описание аристотелевской силлогистики.

Для того чтобы устранить эту трудность, мы могли бы отбросить выражение (F1) аксиоматически. Однако сомнительно, будет ли такое устранение эффективным, ведь могут существовать другие формулы того же рода, что и (F1), возможно даже бесчисленное множество таких формул. Проблема состоит в том, чтобы найти для аристотелевской силлогистики такую систему аксиом и правил, на основании которой мы могли бы решить, должно ли любое заданное и имеющее смысл выражение этой системы быть принято или отброшено. Этой важнейшей проблеме разрешимости и посвящается следующая глава.