Е. является буквальной совокупностью всех наших утверждений - аксиом. Нам совершенно необходимо, чтобы вся совокупность
А В А и В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 совокупность утверждений истинна только тогда, когда истинны оба (все), входящие в нее утверждения.
Если хотя бы одно из них ложно, становится ложной и вся совокупность. Таким образом, если мы имеем пару противоречащих друг другу утверждений, то хотя бы одно из них ложно и, следовательно, соединяя их в систему при помощи конъюнкции, мы получаем ложную аксиоматическую систему.Поскольку импликация: если А, то В или А=>В (если на небе тучи (А), то идет дождь (В) ), является значительно менее жесткой, чем эквивалентность, мы обязаны рассмотреть и такой способ объединения утверждений в аксиоматическую систему. Согласно таблице импликации А В А >В 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1. в случае истинности условия (А) и ложности заключения (В) вся импликация является ложной. В нашей аксиоматической системе заранее неизвестно, какое первоначальное утверждение можно расценивать как условие, а какое - как заключение, следовательно, при наличии одного ложного утверждения (заключения) вся импликация становится ложной. Но если кому-то покажется, что достаточно сгруппировать аксиомы таким образом, чтобы ложным было именно условие и это исправит положение, то это не так. В таблице импликации этому случаю соответствуют две последние строчки, которые говорят нам, что из логически ложного условия следует все, что угодно.
Таблица импликации показывает, что в случае ложности А, независимо от истинности или ложности В, импликация А=>В является истинной. В живом русском языке этот факт нашел отражение в следующей популярной фразе: "Если (следует любое неправильное, с точки зрения говорящего, утверждение), то я - китайский император".
Таким образом, независимо от того, какую позицию в импликации занимает ложное (противоречивое) утверждение, совокупность всех утверждений приобретает для разработчиков теории неудовлетворительный характер, следовательно, формальная непротиворечивость первоначальныхутверждений является безусловным требованием, ему должна удовлетворять всякая теория.