ПРОСТРАНСТВО ОПЕРАТОРОВ. КОЛЬЦО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

20.1. На множестве линейных непрерывных операторов, определенных на линейном пространстве со значениями в линейном пространстве , можно ввести алгебраические операции:

и .

Тогда все аксиомы линейного пространства выполняются и множество линейных непрерывных операторов есть линейное пространство. Его обозначают математически: .

( Нулем этого пространства является нулевой оператор такой, что для всех ).

20.2. В пространстве линейных непрерывных операторов определим понятие сходимости: последовательность операторов сходится в пространстве операторов к оператору , если для любого имеем: .

20.3. Определим умножение операторов и по формуле (причем - также линейный непрерывный оператор).

По индукции: .

При этом умножение удовлетворяет условиям:

- ассоциативности,

- дистрибутивности.

Введем единичный оператор

Множество линейных непрерывных операторов, для которых определено сложение, ассоциативное умножение элементов,

- 49 -

определены нулевой и единичный операторы, называется кольцом линейных непрерывных операторов.

Кольцо, вообще говоря, не коммутативно, т. е. .

- 48 -

Пример: Пусть и пусть , а . Проверим коммутативность:

, . То есть .

21.