19. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
19.1. Наиболее доступными для изучения операторами, действующими в линейных нормированных пространствах, являются линейные.
Пусть 
- линейные нормированные пространства.
одновременно вещественные или комплексные и оператор А удовлетворяет условиям: · аддитивности: 
· однородности: 
и 
вещественного или комплексного числа
( в зависимости от
)
то оператор А называют линейным
19.2 Оператор А называется непрерывным в точке 
, если для 
такое, что как только 
, так 
= 
.
19.3. Свойства линейных непрерывных операторов:
а) Пусть 
. Тогда 
и 
= 
+ 
.
б) Пусть 
.
в) Пусть 
.
19.4. Убедимся, что аддитивный и непрерывный оператор, определенный на вещественном пространстве однороден.
Доказательство:
1.
- целое положительное число. Тогда 
= 
2.
- целое отрицательное число. 
= 
.
- 47 -
3. 
( q - целое число). Пусть 
. Тогда
.
4. 
- рациональное число. 
= 
.
5. 
- иррациональное число. В этом случае 
(в силу непрерывности оператора ) 
.
19.5. Теорема. Аддитивный оператор А, определенный на линейном вещественном пространстве со значениями в линейном вещественном пространстве 
, непрерывный в одной точке 
, непрерывен на всем пространстве .
Доказательство:
Пусть 
- любая точка из и 
. Тогда 
. Так как оператор А непрерывен в точке , то 
. Но 
. Значит 
(*)
Т.к. любая точка , то из (*) следует , что оператор А непрерывен на всем пространстве .
- 48 -
20.
Еще по теме 19. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.:
- Самосопряженные операторы
- § 5. Спектральные свойства оператора Лесли
- 29. Спектр самосопряженного оператора
- Оператор в системе «человек-машина» (СЧМ)
- Сфера действия рематического оператора
- Линейные функционалы
- 1.1.2 Определение взаимосвязей между входным и выходным сигналами системы через ИПХ (нахождение оператора системы)
- Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- Линейная зависимость векторов.
- Выбор операторов электронных площадок в целях проведения открытых аукционов в электронной форме на право заключения государственных и муниципальных контрактов