Линейные функционалы

27.1. Если значениями оператора являются вещественные или комплексные числа, то оператор называется функционалом .

- 60 -

Примеры: в пространстве ;

в точке ;

- функционал с 2-мя аргументами.

Т.к. множества вещественных и комплексных чисел есть частные случаи линейного нормированного пространства, то все, что было сказано ранее для линейных операторов, верно и для линейных функционалов.

Например, норма линейного функционала есть число и для любого выполняется неравенство .

Все определения и теоремы о линейных операторах справедливы и для функционалов. Например, функционал ограничен, если выполняется условие: . Справедлива и теорема о полноте пространства функционалов:

Множество всех линейных функционалов, определенных на банаховом пространстве , образует полное нормированное пространство, которое называется сопряженным к и обозначается .

Построение важно для приложений.

27.3. ТЕОРЕМА: Всякий линейный функционал, определенный на гильбертовом пространстве , имеет вид:

, (1),

где элемент однозначно определяется функционалом и при этом .

Доказательство:

Пусть - произвольный линейный функционал, определенный на гильбертовом пространстве . И пусть - множество нулей функционала, то есть, совокупность элементов таких, что . Докажем, что - подпостранство.

1) Докажем сперва, что - линейное многообразие:

пусть , тогда:

+,

- 61 -

т. к. - линейное многообразие.

2) Пусть сходится к элементу . Тогда .

Следовательно, - замкнуто, значит - подпространство.

Если , то на всем гильбертовом пространстве и тогда .

Пусть . Рассмотрим произвольный элемент гильбертова пространства, не принадлежащий и пусть - проекция этого элемента на подпространство .

Пусть, далее . Обозначим через . Очевидно .

Выберем произвольный элемент и пусть .

.

Следовательно, элемент является нулем подпространства . Положим . Тогда для любого элемента :

(2).

Это означает, что есть ортогональная сумма подпространства и одномерного подпространства, порожденного элементом .

Из (2), умножая его на , имеем:

.

Тогда . Обозначим и равенство (1) получено.

- 62 -

Проверим однозначность такого представления:

пусть и . Тогда .

Т. к. - любой элемент гильбертова пространства, то .

Далее, из формулы (1) при имеем:

,

и, значит, (3).

Пусть теперь

. И так как , то:

(4).

Из неравенств (3) и (4) следует, что . ч.т.д.

28.