9 Вывод формулы Блэка-Шоулза

Рассматриваем (b, ДЬрынок, но, в отличие от параграфа 3, здесь время меняется непрерывно.

Для определения цены вводится понятие т. н. замещающего портфеля. Предположим, что деньги, потраченные на покупку опциона, тратятся на покупку акций и облигаций, at — количество акций в момент t, /¾ — количество облигаций. Тогда капитал портфеля есть

Портфель должен удовлетворять условию самофинансирования, т. е. из- менение его цены может быть обусловлено лишь изменением цен акций и облигаций, т. е.

«Замещение» означает, что, как бы ни складывалась ситуация, должно быть Vt = Ii(St)-

Будем считать, что \) = fil. St).

Так как St — стандартный процесс, то по формуле Ито, примененной к (55) с учетом (54), имеем

	Приравнивая (57) и (58), найдем, что справеливы равенства

Подставляя это в (56), получаем

или, заменяя St на х, приходим к дифференциальному уравнению в частных производных

получили дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза, причем нужно найти его решение, удовлетворяющее «конечному» условию f(T,x) = h(x).

Решим это дифференциальное уравнение в частных производных. Если отвлечься от t, имеем обыкновенное дифференциальное уравнение Эйлера, для решения которого делаем замену у = In ж. Чтобы получить задачу Коши, т.е. с начальным условием вместо конечного, заменяем т = T — t. Таким образом,

Рассмотрим уравнение

помощью замены

Вычислим, как меняются производные:

Подставляя теперь решение (62) задачи Коши (61) в (63), получим, учи-

Это и есть формула Блэка-Шоулза.

Вопросы и задачи

1.

удовлетворяет соотношению (является решением стохастического дифференциального уравнения)

с начальным условием ,

2, Доказать, что в случае, когда модель (b,S) рынка задается уравнениями