7 Стохастические интегралы

7.1 Построение стохастического интегра-

ла(интеграла Ито)

Рассмотрим σ-адгебру Ft х B — наименыпую σ-алгебру, порожденную наборами (A, Б), где A є Ft, B є B, Ft- стандартная броуновская фильтрация, B — борелевекая σ-адгебра на [0,T] (см, приложение А.1).

Функция f (ω,ί) предполагается измеримой (см, приложение А.1) относительно Ft хВ (обозначается f є Ft хВ), Кроме того, предполагаем, что функция f — предсказуема, т, е, при всех t є [0,T]

	Пример 3. Броуновское движение со смещением.
		Броуновским движением со смещением называется процесс

Таким образом,

Сравним эти результаты со случайным блужданием для нечестной игры. В формуле (11) было найдено, что

Таким образом, если взять μ и σ2 так, чтобы выполнялось равенство

то броуновское движение со смещением будет вести себя так же, как и случайное блуждание для нечестной игры.

8.3 Векторное обобщение формулы Ито

Пример.

Устремляя R —► оо, получаем, что при случайном блуждании на плоскости вероятность оказаться в заранее заданном круге радиуса г равна 1, т.е. «пьяница найдет дорогу домой».

Теперь применим аналогичное рассуждение в случае Md, d > 2. Для этого рассмотрим гармоническую функцию

Получаем, что при случайном блуждании в пространстве Rd, d >

2, вероятность оказаться в заранее заданном круге радиуса г равна d-2

. Таким образом, чем дальше от начала мы стартовали, тем меньше вероятность вернуться за конечное время, или «пьяная птичка вряд ли вернется в гнездо».

8.4

Обобщение формулы Ито для стандартных процессов

Формула справедлива также в случае

Следствие 1 (Формула интегрирования по частям). Пусть Xt,Yt — два стандартных процесса, зависящих от одного и того же броуновского движения. Тогда

Для доказательства достаточно подставить в (53) /(/. X1.))) = XtYt.

Вопросы и задачи

3. Проверить формулу Ито для стандартных процессов на процессах вида Xt = используя формулу Ито для пространства-

времени.