Вывод формулы Блэка-Шоулза (мартингальный подход)

В этом пункте формула Блэка-Шоулза будет выведена методом, аналогичным методу вывода формулы Кокса-Росса-Рубинштейна из параграфа 3, Считаем, что цена акции удовлетворяет модели Самюэльсона

а цена облигации соотношению

Введем дисконтированную цену акции:

Применяя формулу Ито (49), получим

Отсюда видно, что дисконтированная цена — не мартингал (если только не μ = г).

где

и Ep обозначает математическое ожидание относительно исходной вероятностной меры Р.

Согласно мартингальному подходу безарбитражная цена европейского опциона покупателя будет

Относительно меры Q процесс Bt — стандартное броуновское движение, в частности, случайная величина Вт распределена по нормальному

закону,

Мы снова получили формулу Блэка-Шоулза.

10.2