Формула парабол (формула Симпсона)

Геометрична ілюстрація формули Симпсона полягає в тому, що на кожному зі здвоєних часткових відрізків замінюємо криву у=f(x) квадратичною параболою (див. рис. 6.2). Площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює сумі так званих параболічних трапецій.

Тому формулу Симпсона називають також формулою парабол.

Рис. 6.2

Розіб'ємо відрізок [a, b] на парне число n рівних відрізків довжини .

На кожних двох часткових відрізках замінимо дану функцію f(x) інтерполяційним многочленом Ньютона другого степеня:

на відрізку [x0, x2]: ;

на відрізку [x2, x4]: ;

на відрізку [xn-2, xn]: .

Тоді

Обчислимо інтеграл на відрізку [x0, x2]:

Остаточно, формула Симпсона має вигляд:

(6.8)

Залишковий член або похибка квадратурної формули має вигляд:

(6.9)

де - середнє арифметичне різниць четвертого порядку.

Приклад 6.1. Обчислити означений інтеграл

за формулами трапецій та Симпсона з оцінкою похибок обчислень.

Розв'язок

Маємо підінтегральну функцію .

Складемо таблицю значень підінтегральної функції і кінцевих різниць до 4-го порядку включно.

Обчислимо значення (), , та обчислимо значення підінтегральної функції у знайдених вузлах .

Кінцеві різниці першого порядку розраховують за формулою (), кінцеві різниці другого порядку: , та ін.

Таблиця 6.1

i	xi	yi	Dy	D2y	D3y	D4y
0	1,5	0,23526	0,18014	-0,2034	0,1885	-0,1698
1	4,5	0,4154	-0,0233	-0,0149	0,0187	-0,01706
2	7,5	0,392097	-0,0382	0,00382	0,00164	0,0391
3	10,5	0,3539	-0,03438	0,00382	0,04074
4	13,5	0,31952	-0,02892	0,00546
5	16,5	0,2906	0,01728	0,0462
6	19,5	0,30788
				D2y=-0,03256		D4y=-0,04925