Решения для балок

На рис. 4.26 представлена безразмерная диаграмма давление — удельный импульс (Р — і) для определения макси­мальной относительной деформации и максимального прогиба у балок под действием ударноволновой нагрузки.

Рис. 4.26. P — ί-диаграмма для упругопластического изгиба балок под дей- стивем взрывной нагрузки.

ШО—шарнирно опертая балка; 33 — балка с двумя защемленными концами; ЗШ — балка с одним защемленным н другим шарнирно опертым концами; К — консоль.

предел текучести Оу, момент инерции сечения I, пластический (неупругий) момент сопротивления Ζ. Будем предполагать, что диаграмма напряжений соответствует схеме идеальной упруго­пластической деформации без упрочнения.

Используя соответствующие безразмерные численные коэф­фициенты, т. е. коэффициенты ψ в таблице на рис. 4.26, можно проанализировать действие взрывной нагрузки на балки с раз­личными условиями на концах. Графическое решение приведено для шарнирно опертых балок, балок с двумя защемленными концами, с одним защемленным, а другим шарнирно опертым концом и консольных балок.

На рис. 4.27 показны графические решения для плоского изгиба упруго деформируемой балки. Одна из наиболее важных дополнительных особенностей диаграммы (рис. 4.27) заключает­ся в том, что ее можно использовать для определения попе­речных сил в опорных сечениях балки, возникающих при пло­ском изгибе. В пластически деформируемой балке Бернулли — Эйлера в момент максимального прогиба поперечные силы от­сутствуют, так как (dM/dx) — 0. Максимальное значение попе­речной силы достигается раньше и не может быть определено с помощью энергетического метода, который позволяет рассчи­тать конечное состояние, но не дает промежуточных решений. При упругой реакции максимальное значение поперечной силы достигается в момент наибольшей деформации балки. Диаграм­ма на рис. 4.27 дает те же результаты, что и диаграмма на рис. 4.26, при условии что деформации в упругопластической си­стеме не выходят за-пределы упругости.

Представленные диаграммы получены на основе уравнений энергетического баланса. Продемонстрируем вывод основных со­отношений на примере упруго деформируемой шарнирно опер­той балки. В первую очередь необходимо задаться формой ко­лебаний. Допустим, что форма колебаний балки определяется

Рис.

К — консоль; ШО — шарнирно опертая балка; ЗШ — балка с одним защемленным и другим шарнирно опертым концами; 33 — балка с двумя защемленными концами;. ЗК—защемленный конец; IIIK — шарнирно опертый конец;

кривой статической упругой линии, отвечающей равномерно рас­пределенной нагрузке

Hcnn-TIbavH что выражение, для изгибающего момента M = получаем

Потенциальная энергия U, накопленная деформируемой бал­кой, определяется спомошью подстановки выражения (4.65) в формулу

«

Асимптота режима импульсного приложения нагрузки нахо­дится из условия равенства кинетической (А) и потенциальной энергий деформации. Кинетическая энергия, сообщенная балке, равна

и после подстановкиполучаем

Полагая K—U, находим уравнение асимптоты режима импульс­ного нагружения

Уравнение (4.70) дает зависимость максимального прогиба бал­ки от импульса приложенной нагрузки.

Асимптота кривой, изображенной на рис. 4.27, в режиме квазистатического нагружения определяется из условия равен­ства максимально возможной работы внешней силы и потен­циальной энергии деформации. Максимальная работа равна

(4.79), получим

Формула (4.80), определяющая максимальную поперечную силу, приведена на рис. 4.27. Численный множитель 8,0 соответствует коэффициенту Cv для шарнирно опертой балки.

Для описания участка кривой на диаграмме (рис. 4.27), со­ответствующего режиму динамического приложения нагрузки» в качестве аппроксимирующей функции использован квадрат ги­перболического тангенса. Как показывает практика, это при­ближение достаточно хорошо соответствует реакции конструк­ции в рассматриваемом режиме нагружения:

Отметим, что при малых значениях аргумента гиперболический тангенс равен своему аргументу, и зависимость (4.81) сводится к условию определения асимптоты режима импульсного прило­жения нагрузки U=K- При больших аргументах гиперболи­ческий тангенс равен 1, и из формулы (4.81) получается условие для асимптоты режима квазистатического приложения нагрузки. Использование квадрата гиперболического тангенса в качестве аппроксимирующей функции точного решения для линейного упругого осциллятора (см. рис. 4.4) приводит к погрешности аппроксимации, меньшей 1 %. Все описанные ниже безразмер­ные P — t-диаграммы построены по уравнению (4.81), аппрокси­мирующему переходный участок кривой между двумя асимпто­тами.

В приближении малости деформаций (балка Бернулли — Эйлера) полученные энергетическим методом решения дают точ­ные значения максимальной относительной деформации и мак­симального прогиба балки в режиме квазистатического прило­жения нагрузки. Это обусловлено тем, что задаваемая стати­ческая формула прогиба является точной формой колебаний в этом режиме нагружения. В режиме импульсного приложения нагрузки энергетический метод дает лишь приближенные зна­чения указанных параметров, поскольку задаваемая форма ко­лебаний лишь приближенно описывает деформированное состоя­ние. Полученное приближение достаточно хорошее, особенно если учесть неопределенность в величине внешних сил, с кото­рой приходится иметь дело при исследованиях воздействия взрывной волны. Принятие более адекватной формы колебаний приводит к более точным результатам. Однако, как показано выше, функциональные соотношения не зависят от принятой формы колебаний, и при переходе от одной формы колебаний

к другой изменяются (незначительно) только коэффициенты а,-,

Аналогичные методы расчета могут быть использованы при. построении P — ί-диаграммы для консольных балок, балок с двумя защемленными концами, с одним защемленным и одним шарнирно опертым концами или для балок с любыми другими условиями на концах. Даже если принятая форма колебаний лишь приближенно соответствует действительной форме дефор­мированной оси балки, но удовлетворяет соответствующим гра­ничным условиям, то результаты расчетов тем не менее будут достаточно точными. Решения для балок с различными условия­ми на концах отличаются лишь численными значениями коэффи­циентов*

Построение Р — t'-диаграмм для балок, деформируемых по схеме упругопластического тела, является более сложной зада­чей. В качестве примера получим уравнение асимптоты режима импульсного приложения нагрузки для равномерно нагружен­ной балки с упругопластическими свойствами. В первую оче­редь необходимо задаться диаграммой напряжений. Предполо­жим, что

Согласно формуле (4.82), при малых значениях аргумента