Решение задачи Дирихле для круга.
Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(j), где j - полярный угол.
Требуется найти функцию 
, которая удовлетворяет уравнению Лапласа
и при 
Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:
Полагаем 
Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:
Таким образом, имеем два уравнения:
Общее решение первого уравнения имеет вид: 
Решение второго уравнения ищем в виде: 
.
Общее решение второго уравнения имеет вид: 
.
Подставляя полученные решения в уравнение 
, получим:
Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ? 0.
Если k = 0, то 
следовательно 
.
Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.
Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.
Окончательно получаем: 
При этом: 
Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона.
(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
Еще по теме Решение задачи Дирихле для круга.:
- №31. Постановка задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Формула решения задачи, записанное в полярных координатах.
- Задача Дирихле в круге.
- 7.6.1. Задачи для самостоятельного решения
- 3.7.2 Задачи для самостоятельного решения.
- 6.11.2. Задачи для самостоятельного решения
- №39. Решение задачи Коши для уравнений колебания струны методом Даламбера.
- 7.1. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей.
- 8. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
- Использование переводчика для решения тактических задач расследования: морально-этические проблемы
- Глава 3. Стратегии и тактики решенияуправленческих задач. методы решения задач