СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

1.Случайные события. Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда события должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае когда оно заведомо не может произойти -невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

2. Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов т, благоприятствующих наступление данного события А, к числу п всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т. е. Р(А)= т/п. (11)

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. 0Р(А)1. Невозможному событию соответствует вероятность Р(А)=0,а достоверному—вероятность Р(А)=1.

Задача.

В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятности того, чтя этот билет выигрышный?

Решение: Общее число различных исходов есть п =1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет т=200. Согласно формуле (16.11), получим Р(А) = 200/1000= 1/5 = 0,2.

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Для трех совместных событий имеет место формула:

Событие, противоположное событию А (т. е. ненаступление события А), обозначают. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:

P(A)+P(= 1 (16)

Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается РВ (А) или P(A/B).

Если А и В — независимые события, то

Р(В) – РА(В) = (В) (17)

События А, В, С, ... называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Задачи:

1. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А).

Решение:

I способ.

Таким образом, событие А можно представить в виде суммы этих трех событий: A = B+C+D. По теореме сложения имеем Р(А) = Р(В)+Р(С) + Р(D). Находим вероятность каждого из этих событий:

P(В) = = ;

P(С) = = ;

P(D) = = .

Сложив найденные величины, получим P(А) = = 0,601

II способ. События А (хотя бы одна из трех взятых деталей оказалась стандартной) и (ни одна из взятых деталей не оказалась стандартной) являются противоположными; поэтому Р(А) + Р() = 1 или Р(А)= 1-Р().

Вероятность появления события А составляет

P() = = .

Следовательно, искомая вероятность есть P(A) = 1 – P() = 1 – 91/228=137/228=0,601.

2. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение:

Пусть А — событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а В —в том, что оно кратно 5. Найдем Р(А + В). Так как А и В совместные события, то воспользуемся формулой (3):

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)Р(АВ).

Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, … 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события А); 18 —кратными 5 (благоприятствуют наступлению события В) и 6—кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события АВ), Таким образом, Р(А) = 30/90 = 1/3, Р(В)= 18/90= 1/5, Р(АВ)=6/90= 1/15, т.е.

Р(А+В) = 1/3+1/5 – 1/15 = 7/15 = 0,467

Теоремы умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:

Теорема умножении вероятностей зависимых событии.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

Задача:

1. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой—3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение:

Пусть А - появление белого шара из первой урны, а В - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события А и В независимы. Найдем Р(А) = 4/12 = 1/3, Р(В) = 3/12 = 1/4. По формуле (1) получим:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) = (1/3) ∙ (1/4) = 1/12 = 0,083.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть события (гипотезы) В1, В2, … Вn образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например Вi событие А может наступить с некоторой условной вероятностью (А).

Р(А) = Р(В1) ∙ (А) + Р(В2) ∙ (А)+ … + Р(Вn) ∙ (А),

(21)

где Р(В1) + Р(В2) + … + Р(Вn) = 1

Формула (21) называется формулой полной вероятности.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2, … Вn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса (формуле вероятности гипотез):

(22)

где

— вероятность каждой из гипотез после испытания, в результате которого наступило событие А;

(А) — условная вероятность события А после наступления события Вi, а Р(А) находится по формуле полной вероятности (1).

Задачи:

1. На склад поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором— 35% и на третьем 25%, причем на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором — 80% и на третьем — 70%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

Решение:

Введем следующие обозначения: Вi — деталь изготовлена на первом станке, В2 — на втором стайке и В3 — на третьем станке; событие А — деталь оказалась первого сорта. Из условия следует, что Р(В1) = 0,4, Р(В2) = 0,35, Р(В3) = 0,25, (А) = 0,9, (А) = 0,8 и (А) = 0,7.

Р(А) = Р(В1) ∙ (А) + Р(В2)∙(А) + Р(В3) ∙ (А) = 0,4 ∙ 0,9 + 0,35 ∙ 0,8 + 0,25 ∙ 0,7 = 0,815.

(3)

2. В первом ящике имеются 8 белых и 6 черных шаров, а во втором — 10 белых и 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар—черный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик.

Решение:

Введем обозначения: В1 — был выбран первый ящик; В2 —был выбран второй ящик; А — при проведении двух последовательных испытаний выбора шара был вынут черный шар. Тогда Р(В1)=1/2, Р(В2) = 1/2. Вероятность извлечения черного шара после того, как выбран первый ящик, составляет (А) = 6/14 = 3/7. Вероятность извлечения черного после того, как выбран второй ящик, равна (А) = 4/14 = 2/7.

По формуле полной вероятности находим вероятность того, что вынутый шар оказался черным:

Р(А) = Р(В1) ∙ (А) + Р(В2) ∙ (А) = (1/2) ∙ (3/7) + (1/2) ∙ (2/7) = 5/14.

Искомая вероятность того, что черный шар был вынут из первого ящика, вычисляется по формуле Байеса:

РА(В1) = = = = 0,6.

Случайная величина и ее числовые характеристики.

Случайная дискретная величина и ее закон распределения.

Величина называется случайной, если она принимает свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания (опыта), причем для каждого элементарного исхода она имеет единстенное значение. Случайная величина называется дискретной, если множество всех возможных значений ее конечно.

Геометрически множество всех возможных значений дискретной случайной величины представляет конечную систему точек числовой оси.

Здесь первая строка таблицы содержит все возможные значения случайной величины, вторая - их вероятности.

Пример 1:

В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб,10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Здесь возможные значения для X есть

Х1 = 1000, х2 = 100, х3= 1, х4 = 0

Вероятности их соответственно будут

Р1 = 0,0001, р2 = 0,001, р3 = 0,01, р4 = 1 – (р1 + р2 +р3 )=0,9889.

Закон распределения для выигрыша Х может быть задан таблицей:

Математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием дискретной величины называется сумма парных произведений всех возможных ее значений на их вероятности.

Если х1 ,х2 , …,хn есть (полный) набор всех значений дискретной случайной величины Х, а р1 ,р2 , …рn - соответствующие им вероятности, то ,обозначая буквой М математическое ожидание, будем иметь

М (Х) = ∑ xi рi

Где

∑рi=1

Математическое ожидание М (Х) случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины Х .

Пример2. Найти математическое ожидание выигрыша Х в примере 1.

Пользуясь помещенной там таблицей, имеем

М (Х) = 1000 . 0,0001 + 100 + 0,01 + 0 .0,9889 =0,21 (руб) = 21 (коп).

Как нетрудно сообразить ,М (Х) = 21 коп. есть « справедливая» цена билета.

Таким образом, математическое ожидание случайной величины является некоторым ее средним значением.

Основные свойства математического ожидания

ТЕОРЕМА 1(без доказательства). Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной, т.е. если С – постоянная величина, то

М(С)=С.

ТЕОРЕМА 2(без доказательства). Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин, т.е.если X и Y – случайные величины, то

M(X+Y) = M(X) + M(Y)

ТЕОРЕМА 3(без доказательства). Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

M(XY) = M(X) M(Y),

где X и Y – независимые случайные величины.

Следствие 1. Математическое ожидание поизведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

M(XYZ) = M[(XY)]Z = M(XY)M(Z) = M(X) M(Y) M(Z)

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

M(CX) = M(C) M(X) = CM(X)

Следствие 3. Математическое ожидание разности любых двух случайных величин X и Y равно разности математических ожиданий этих величин, т.е.

M(X – Y) = M(X) – M(Y)

Дисперсия.

Пусть Х – случайная величина, М(Х) – ее математическое ожидание (среднее значение).Случайную величину Х –М(Х) называют отклонением.

Теорема 1. Для любой случайной величины Х математическое ожидание ее отклонения равно нулю,т.е.

М [Х – М (Х)] = 0

Определение. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

Отсюда обозначая дисперсию буквой D , для случайной величины Х будет иметь

D (X) = М {[Х – М (Х)]2 }.

Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна , т.е. является числовой характеристикой этой величины.

Корень квадратный из дисперсии D(Х) называются средним квадратным отклонением а( иначе – стандартом) этой величины:

(Х)=

Пример:

Пусть закон распределения случайной величины задан таблицей:

Определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение δ (Х)

Имеем

М(Х)=4 *1/4+10*1/2+20*1/4=11;

Отсюда

D(X)=(4-11)2*1/4+(10-11)2*1/2+(20-11)2*1/4=33

и

(Х)= ==5,75.