Численное дифференцирование.

1. Понятие о приближении (аппроксимации) функций. Пусть величина y является функцией аргумента x, т.е. любому значению x из области определения поставлено в соответствии значение y.

Наиболее распространенным и практически важным (если вид связи между x и y неизвестен) является задание этой связи в виде некоторой таблицы {xi; yi}. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента {xi} поставлено в соответствии множество значений функции {yi}, где i = . Эти значения - либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике необходимы также значения у и в других точках отличных от узлов xi. Однако получить эти значения можно либо путем сложных расчетов, либо дорогостоящих экспериментов.

Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления параметра у при любом значении (из некоторой области) определенного параметра x, поскольку точная связь y = f(x) неизвестна.

Этой целью служит задача о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией φ(x), так чтобы отклонение φ(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(x) при этом называется аппроксимирующей.

На практике часто пользуются аппроксимацией функции многочленом:

φ(x) = a0 + a1x + a2x2 + …. + amxm (1.1)

При этом коэффициенты aj подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {xi}, то аппроксимация называется точечной. К ней относится интерполирование, среднеквадратичное приближение и другое.

Постановка задачи интерполирования.

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для заданной функции y = f(x) строится многочлен (1.1), принимающий в заданных точках xi те же значения yi, что и функция f(x), то есть

φ(xi) = yi , где i = . (2.1)

При этом предполагается, что среди значений xi нет одинаковых. Точки xi называются узлами интерполяции, а многочлен φ(x)- интерполяционным многочленом.

Таким образом, близость интерполяционного многочлена в заданной функции состоит в том, что значения совпадают на заданной системе точек.

Максимальная степень интерполяции многочлена m = n. В этом случае говорят о глобальной интерполяции, поскольку один многочлен

φ(x) = a0 + a1x + a2x2 + ….. + anxn (2.2)

используется для интерполяции функции f(x) на всем рассматриваем интервале изменения аргумента x. Здесь коэффициенты aj находятся из системы уравнений (2.1). И если нет одинаковых значений xi – эта система имеет единственное решение.

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения x. В этом случае говорят о кусочной (локальной) интерполяции.

Как правило, интерполяционные многочлены используются для аппроксимации функции в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции: x0 < x < xn Однако иногда их используют и для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка ( x < x0; x > xn )- это приближение называется экстраполяцией.