Ротор (вихрь) векторного поля.

Опр. Циркуляцией векторного поля. (M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль кривой

Ц L = = ( 19 )

Физический смысл циркуляции - работа по перемещению тела в поле переменных сил по произвольной замкнутой траектории, т.к.

работа есть скалярное произведения вектора силы и вектора смещения.

Пример 10. Найти циркуляцию векторного поля = yi – x j + z k вдоль окружности

x = r cos t , y = r sin t , z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Решение : Ц = = {dx = -r sin t ; dy = r cos t ; dz = 0} =

= = - r2 = -2r2

Отношение циркуляции к площади круга S = r2 постоянно Ц /S = -2, даже при r.

Из этого следует, что циркуляция в самой точке начала координат равна -2 .

Соединим две точки контура L дополнительной линией, которая разделит его на два контура L1, L2 . Тогда циркуляцию вдоль L можно представить как сумму циркуляций вдоль малых контуров при одинаковом направлении прохождения.

т.к. общую границу проходим

дважды в противоположных направлениях. Т.о., циркуляция по контуру L может быть представлена как сумма циркуляций по малым контурам, полученным путем наложения сетки линий на контур L. В пределе малым участком может оказаться отдельная точка. Тогда циркуляция по контуру сведется к сумме циркуляций вокруг всех точек охваченных контуром L. Такой переход к точкам позволяет сделать формула Стокса

= ( 20 )

которая сводит криволинейный интеграл по контуру L на произвольной гладкой поверхности к поверхностному интегралу по область G ограниченной контуром L.

Перейдем в (19) к поверхностному интегралу 1 рода: ЦL ==

= ( 21 )

Выражение в квадратных скобках можно представить как скалярное произведение двух векторов : вектора = { } и вектора

rot (R’y – Q’z) i + (P’z – R’x) j + (Q’x - P’y) k ( 22 )

который наз. ротором (вихрем) векторного поля (M) = {P, Q, R}. В результате формула Стокса принимает следующую векторную форму

= ( 23 )

т.е. циркуляция векторного поля вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря поля через эту поверхность.

Если в ( 23 ) размер G достаточно мал и вектора rot и почти не меняются в пределах G, то можно применить теорему о среднем и заменить (rot) его значением в отдельной точке M*.

Тогда интеграл по G даст площадь поверхности S и ( 23 ) примет вид

(rot )|M* = 1/S или |rot | cos = 1/S ( 24 )

т.е. ротор характеризует величину циркуляции, приходящуюся на единицу площади поверхности охваченную контуром L. При = 0 циркуляция max. В (24), если S0, то M*M и ротор будет характеризовать циркуляцию вокруг отдельно взятой точки.

Опр. Ротором векторного поля(M) наз. вспомогательное векторное поле rot(M), вектора которого в каждой точке М определяют ориентацию плоскости, в которой эта циркуляция максимальна, а их модули |rot(M)| дают значение этой циркуляции.

Ротор векторного поля (M) = {P, Q, R} удобно записывать в виде оператора

rot (M) = x (M) = ( 25 )

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса – циркуляция по произвольному замкнутому контуру в пространстве складывается из суммы циркуляций всех точек любой поверхности натянутой на этот контур.

Простейшие векторные поля : а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div = 0 ; б) Потенциальное или безвихревое векторное поле, если rot = 0 ; в) Гармоническое векторное поле , если div = 0 , rot = 0 .

Пример 11.Вычислить циркуляцию векторного поля ={x + y2- z; 2x2– 2y2; zxy -1} вдоль контура АВСА, если АВС – треугольник с вершинами А( 2,0,0), В(0,2,0), С(0,0,1)

Решение.

Ц L = =