Поток векторного поля через поверхность.

Пусть даны в.п. F(M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором n(M) = { }.

Опр. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы F, n имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора F через бесконечно малую площадку.

П = (F n) S = |F| cos(F^n) S = |F|nS ( 27 )

Пусть F - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S. |F|n - высота бруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(F^n) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Запишем поток в координатной форме П = ()S, тогда S, S, S - проекции площадки на координатные плоскости yOz, xOz, xOy, а сам поток распадается на три составляющих потока направленных вдоль координатных осей.

П = Pdydz + Qdxdz + Rdxdy ( 28 )

Множитель означает, что вклады потоков берутся с учетом ориентации площадки.

Перейдем к поверхности G. Разделим ее на m малых площадок, для каждой определим Пi и просуммируем их П(m) =Пi. Если Пi определяется по формуле ( 28 ) , то предел m для этой интегральной суммы наз. поверхностным интегралом 2-ого рода

ПG = = = ( 29 )

Опр. Потоком векторного поля F(M) через произвольную поверхность G наз. поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора поля и нормального вектора поверхности или поверхностный интеграл 2-ого рода.

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода - разность между количествами жидкости вошедшими и вышедшими из замкнутой поверхности в единицу времени.

Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле U(M). Направление передачи тепла в каждой точке задают нормали к изотермическим поверхностям U(x,y,z) = C, т.е.

Если G замкнутая поверхность, то поток дает разность между пришедшим и ушедшим теплом из этого объема V. Однако, в V могут быть свои «источники» или «стоки» тепла (перегретые или переохлажденные участки). Если внешний приток тепла равен оттоку и поток > 0 , то мощность «источников» тепла внутри объема больше мощности «стоков» и определит разность этих мощностей. Т.о. поток любого стационарного векторного поля устанавливает баланс между «источниками» и «стоками» этого поля в замкнутом объеме.

Пр. Найти поток сферического векторного поля с обратной квадратичной зависимостью F = r / |r|3 (закон Кулона) через сферу радиуса r .

Решение : нормированный нормальный вектор к любой точке сферы коллинеарен её радиус-вектору n = r /|r| и F n = r r /|r|4 = |r| -2 – const на сфере. Поэтому

П = = |r|-2 = S /|r|2 = (4|r|2) / |r|2 = 4

Т.о., поток не зависит от радиуса сферы и при |r| 0 оказывается «мощность» точечного «источника», расположенного в центре сферы.

В общем случае поток векторного поля F по замкнутой поверхности G можно отнести к единице объема - ПG / V , где V – объем ограниченный G , затем перейти к пределу V 0 и определить мощность потока из отдельной точки.

Опр. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля F(M) в точке М наз. предел отношения потока по замкнутой поверхности G к объему ограниченному этой поверхностью при стягивании замкнутой поверхности G в точку М

= div F(M) ( 30 )

Знак div определяет наличие источника (+) или стока (-) в точке М, а сама дивергенция их «мощность». Дивергенция вычисляется для всех точек векторного поля и образуют скалярное поле.

Теорема. Дивергенция векторного поля F(M)= {P, Q, R} существует в каждой точке поля, если компоненты вектора и их частные производные непрерывны, и опреде-ся по формуле

div F(M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) ( 31 )

т.е. дивергенция равна сумме частных производных от компонент векторного поля по соответствующим координатам.

Док – во. В выражении для потока ( 29 ) используем формулу Остроградского-Гаусса и теорему о среднем для тройного интеграла

ПG = = = V [P’x + Q’y + R’z ]M* ( 32 )

При переходе к пределу lim ПG / V при V0 точка M* M и получаем ( 31 ).

Дивергенция есть сумма скоростей изменения компонент поля в окрестности выбранной точки вдоль координатных осей. Если около выбранной точки в направлении координатных осей среднеарифметическая скорость изменения поля положительна, то данная точка является «источником» поля, если отрицательна, то «стоком».

Теперь формулу Остроградского – Гаусса можно переписать в векторной форме

( 33 )

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. Сумма «мощностей» всех точечных «источников» и «стоков» дает общий результат, т.е. поток поля через поверхность.