Простейшие векторные поля.

а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div F = 0 .

Через все точки произвольной замкнутой кривой проведем векторные линии поля F. Они образуют сплошную трубку. Нормальный вектор n к ее поверхности векторам поля скалярное произведение F n = 0 и поток через поверхность трубки также равен нулю.

б) Потенциальное или безвихревое векторное поле, если rot F = 0. Его можно представить как градиент скалярного поля F(M) = grad U(M), где U(M) – наз. потенциалом векторного поля. Связь между ними: P = U’x , Q = U’y , R = U’z . Компоненты rot F в этом случае есть разность одинаковых смешанных производных и они равны нулю (R’y – Q’z)x = U’’zy - U’’yz = 0 .

в) Гармоническое векторное поле , если div F = 0 , rot F = 0 . Потенциал такого поля удовлетворяет волновому уравнению Лапласа, решения которого наз. гармоническими функциями

Устные экзаменационные вопросы

по теме «Элементы теории поля» Общий вид уравнений кривой и поверхности в параметрической форме. Записать в общем виде векторное уравнение кривой в пространстве и объяснить. Как определяются координаты направляющего вектора касательной к кривой, заданной в параметрической форме ? Опр. касательной плоскости к произвольной поверхности. Как определяются коор-ты нормального вектора касательной плоскости в общем случае? Опр. гладкой поверхности, её геометрические особенности. Что такое координаты вектора? Их геометрический смысл? Как определяются направляющие косинусы произвольного вектора ? Почему ? Опр. двухсторонней поверхности. Записать общий вид координат нормального нормированного вектора касательной плоскости гладкой поверхности.

Кафедра «Высшей математики»

Опорные конспекты лекций.