Ротор (вихрь) векторного поля.
Опр. Циркуляцией векторного поля. F(M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль кривой
Ц L = 
= 
( 34 )
Физический смысл циркуляции - работа по перемещению тела в поле переменных сил по произвольной замкнутой траектории, т.к.
работа есть скалярное произведения вектора силы и вектора смещения.Пусть в векторном поле F замкнутый контур L проходит через точки А, B, C, D. Линией АС разделим его на два контура L1, L2 . Тогда циркуляцию вдоль L можно представить как сумму циркуляций вдоль малых контуров при одинаковом направлении прохождения. Действительно,
Ц1 + Ц2 = 
+ 
+ 
+ 
= + = Ц L
т.к. общую границу АС проходим дважды в противоположных направлениях. Т.о., циркуляция по контуру L является аддитивной величиной и может быть представлена как сумма циркуляций по малым контурам, полученным путем наложения сетки линий на контур L. В пределе малым участком может оказаться отдельная точка. Тогда циркуляция по контуру сведется к сумме циркуляций вокруг всех точек охваченных контуром L.
Пр. Найти циркуляцию векторного поля F = yi – x j + z k вдоль окружности
x = r cos t , y = r sin t , z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2
Решение : Ц = 
= {dx = -r sin t ; dy = r cos t ; dz = 0} = - r2
= -2r2
Отношение циркуляции к площади круга S = r2 постоянно Ц /S = -2, даже при r
.
Из этого следует, что циркуляция в самой точке начала координат равна -2 .
Циркуляцию векторного поля F(M) по контуру L по формуле Стокса можно представить как интеграл по поверхности G , натянутый на этот контур
Ц L = = 
=
= 
( 35 )
Выражение в квадратных скобках можно представить как скалярное произведение двух векторов : вектора n = { 
} и вектора
(R’y – Q’z) i + (P’z – R’x) j + (Q’x - P’y) k 
rot F ( 36 )
который наз. ротором (вихрем) векторного поля F(M) = {P, Q, R}. В результате формула Стокса принимает следующую векторную форму
= 
( 37 )
т.е. циркуляция векторного поля вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря поля через эту поверхность.
Если в ( 37 ) размер G достаточно мал и вектора rot F, n почти не меняются в пределах G, то можно применить теорему о среднем и заменить (rot F n) ее значением в отдельной точке M*. Тогда интеграл по S даст площадь поверхности и
(rot F n)|M* = 1/S ( 38 )
т.е. ротор характеризует величину циркуляции, приходящуюся на единицу площади поверхности охваченную контуром L. Перейдем в ( 38 ) к пределу S
0, тогда M*M и ротор будет характеризовать циркуляцию вокруг отдельно взятой точки.
Опр. Ротором векторного поля F(M) наз. вспомогательное векторное поле rot F(M), вектора которого в каждой точке определяют значение циркуляции вокруг этой точки |rotF(M)| и ориентацию плоскости, в которой эта циркуляция максимальна.
Произведение rot F(M) n(M) = |rot F(M)|cos (rot F^n) максимально при нулевом угле.
Ротор векторного поля F(M) = {P, Q, R} удобно записывать в виде оператора
rot F(M) = 
x F(M) = 
( 39 )
Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса – циркуляция по произвольному замкнутому контуру в пространстве складывается из суммы циркуляций всех точек любой поверхности натянутой на этот контур.