Поток векторного поля через поверхность.
Пусть даны в.п. 
(M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором 
(M) = { 
}.
S. Считаем, что во всех ее точках векторы , имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора через бесконечно малую площадку. П = () S = || cos(^) S = ||nS ( 13 )
Пусть - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S, т.к.
|n - высота бруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(^) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны. Запишем поток в координатной форме П = (
)S, тогда 
S, 
S, 
S - проекции площадки на координатные плоскости yOz, xOz, xOy, а сам поток распадается на три составляющих потока направленных вдоль координатных осей.
Сумма по малым площадкам на G приводит к интегральной сумме П(m)=
Пi, предел которой при m
совпадает с поверхностным интегралом 2-ого рода ( 7 )
ПG = 
= 
( 14 )
Опр. Потоком векторного поля (M) через произвольную поверхность G наз. поверхностный интеграл 1 рода от скалярного произведения вектора поля и нормального вектора поверхности или поверхностный интеграл 2-ого рода.
Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.
Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода - разность между количествами жидкости вошедшими и вышедшими из замкнутой поверхности в единицу
времени.
В общем случае поток векторного поля по замкнутой поверхности G можно отнести к единице объема - ПG / V , где V – объем ограниченный G , затем перейти к пределу V 
0 и определить мощность потока из отдельной точки. Это позволяет сделать формула Остроградского – Гаусса
( 15 )
которая заменяет интеграл по внешней стороне поверхности ограничивающей тело на интеграл по объему этого тела.
Опр. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля (M) в точке М наз. предел отношения потока по замкнутой поверхности G к объему ограниченному этой поверхностью при стягивании замкнутой поверхности G в точку М
= div (M) ( 16 )
Знак div определяет наличие источника (+) или стока (-) в точке М, а сама дивергенция их «мощность». Дивергенция вычисляется для всех точек векторного поля и образуют скалярное поле. Теорема о среднем для тройного интеграла в ( 15 ), ( 16 ) приводит к формуле
div (M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) ( 17 )
т.е. дивергенция равна сумме частных производных от компонент векторного поля по соответствующим координатам.
Теперь формулу Остроградского – Гаусса можно переписать в векторной форме
( 18 )
т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. Сумма «мощностей» всех точечных «источников» и «стоков» дает общий результат, т.е. поток поля через поверхность.
Пример 6. Записать формулы Остроградского-Гаусса в векторной и координатной форме для векторного поля (M) = { -yz; -xz; yz}.
Решение. Т.к. div (M) = 0 + 0 + y , то
- векторная форма ,
- координатная форма
Пример 7. Найти поток векторного поля (M) = { x; y+2yz; -z2} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: x2+y2+z2 = 42, z = 0 ;
Решение. Вычислим поток через дивергенцию векторного поля.
div (M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) = 1 + 1 + 2z – 2z = 2,
ПG =
= 
= {x = r sin
cos
, y = sinsin, z = r cos} =
= 2 
= 64
( Переход к сферической системе координат.)
Пример 8.
(M) = { xy; -3y; 3z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: z = x2 + y2 , z = 4 Решение. Вычислим поток через дивергенцию векторного поля.
div (M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) = y - 3 + 3 = y ,
ПG == 
z = x2 + y2 (степени 1,2 ) 
параболоид вращения (низ)
z = 4 (степени 1, нет x,y) плоскость || хОу (верх)
ПG = 
y dx dy dz = 
dxdy
ydz , J1 = ydz = y(4 - x2 - y2) ,
D: x2 + y2 = 4, ПG = {x = r cosj, y = r sinj} = 
= 0
Пример 9. Найти поток векторного поля (M) = { 3x; 4y2; -3z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: x + y + z = 4 , x = 0 , y = 0 , z = 0.
Решение. Вычислим поток через дивергенцию векторного поля.
div (M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) =3 + 8y – 3 = 8y ,
ПG == 
z = 4 – x – y (степени 1) плоскость (верх)
x = 0 , y = 0 , z = 0 плоскости координатные
ПG = 8y dx dy dz = dxdy
ydz , J1 = у dz = y(4 – x – y),
D: x + y = 4, x = 0, y = 0
Точки пересечения линий
(0;0) , (4;0) , (0;4)
Построение рис.
области D.Выберем коридор || Оy, его ширина 0 
x 4,
а движение по коридору от у = 0 до y = 4 - x D: 0 x 4, 0 y 4 - x
ПG = 
, J2 == (4 - x)3/6,
ПG = 1/6
= - 256/3
Задачи для самостоятельного решения
1) Найти поток векторного поля (M) = { 0; 0; z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: z = y + 2, z = 0, x = 0, y = 2, если угол n^Oz острый
2) Найти поток векторного поля (M) = { x; y; z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: x2 + y2 = 4 – z , z = 0 , (z>0).
3) Найти поток векторного поля (M) = { 0; 0; -z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: z = y, z = 0, x = 0, y = 0 , x + y = 2 , если угол n^Oz тупой.
4) Найти поток векторного поля (M) = { x; y; z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: x2 + y2 = R2 , z = 4 , (z>0).