Векторные поля и их характеристики.
Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией F = F(M) = F(x,y,z) = F( r) , которая наз.
функцией векторного поля.В координатной форме F(M) = P(x,y,z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k. Компоненты P, Q, R образуют три скалярных поля и однозначно определяют F( r) - векторную функцию от векторного аргумента.
Примеры векторных полей: гравитационное поле Земли, поле скоростей стационарного потока жидкости, электрические и магнитные поля различных систем зарядов, векторное поле градиента скалярного поля, т.к. grad U формирует свой вектор для каждой точки скалярного поля U .
Типы полей : плоское поле F = F(x,y) ; сферическое поле F = Ф(
)
, где 
, 
, F - на сфере имеет постоянную длину и | | нормали к сфере ; цилиндрическое поле F = Ф(), где 
, 
Общие геометрические характеристики векторных полей.
Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с F(M).
В сферическом поле векторными линиями являются все прямые проходящие через центр, в цилиндрическом поле все прямые 
к оси цилиндра.
При перемещении из точки М вдоль векторной линии дифференциал радиус-вектора точки 
т.е.
, будет определять направление касательной и, следовательно, будет коллинеарен вектору F(M) . Условие коллинеарности двух векторов 
= 
F(M) приводит к системе двух дифференциальных уравнений 
( 26 ) решение которых и определит уравнения векторных линий.
Пр. Найти векторные линии в.п. F(M) = x i – y j – 2 k .
{ 
; 
}
1 уравнение : ln x = - ln y + ln C1 ln(xy) = ln C1 xy = C1 – гиперболический цилиндр
2 уравнение : ln y = ½ lnz + ln C2 ln y2/z = ln C2 y2 = zC2 – параболический цилиндр
Векторными линиями являются линии пересечения этих поверхностей. Для каждой точки М существует свой набор констант С1, С2 .